Матрицы Определители Замечание

Матрицы Определители

С понятием определителя мы уже сталкивались при изучении векторного произведения в разделе 10. Там были введены определители матриц второго и третьего порядка. В этом разделе мы дадим определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Такое рекуррентное определение и было использовано для введения определителя матрицы третьего порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать $\vert A\vert$ или $\det A$ . Аналитическая геометрия Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка . Найдем тангенс угла между диагоналями и .

Определение 14.6 Определителем квадратной матрицы ${A=\left(\begin{array}{rr}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array}\right)}$ второго порядка называется число ${\vert A\vert=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ . Определителем квадратной матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdo... ...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{array}\right)}$ порядка

, $n\geqslant 3$ , называется число

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k,$

где

-- определитель матрицы порядка

, полученной из матрицы

вычеркиванием первой строки и столбца с номером

Легко проверить, что это определение для определителей второго и третьего порядка совпадает с данным ранее в разделе 10.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

$\begin{multline*} \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13... ...31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{array}\right\vert. \end{multline*}$

Замечание 14.7 Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание 14.8 В определении 14.6 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка

и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание 14.9 В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение $\det A$ .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Пример 15.5 Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$

Умножим первую строку последовательно на

, 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Примеры решения и офомления задач контрольной работы

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$

Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам.

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$