Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Напомним, что дифференциал функции $ f(x)$ (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой

$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении $ dx$ аргумента $ x$) как функцию переменного $ x$ и найдём её дифференциал $ d(df(x;dx))=d^2f(x;dx)$:

$\displaystyle d^2f(x;dx)=(f'(x)dx)'dx=f''(x)(dx)^2.$

Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции $ f(x)$, или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой

$\displaystyle d^3f(x;dx)=(f''(x)(dx)^2)'dx=f'''(x)(dx)^3.$ Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Вообще, $ n$-й дифференциал $ d^nf(x;dx)$, или дифференциал $ n$-го порядка, определяется как дифференциал от $ (n-1)$-го дифференциала (при постоянном приращении $ dx$); для него имеет место формула:

$\displaystyle d^nf(x;dx)=f^{(n)}(x)(dx)^n.$

При $ n\geqslant 2$ $ n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от первого дифференциала), то есть выражение $ d^nf$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $ x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $ x={\varphi}(t)$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высших порядков достаточно привести пример. Пусть $ n=2$ и $ f(x)=x^3$. Если $ x$ -- независимая переменная, то

$\displaystyle d^2y=d^2f(x;dx)=(x^3)''(dx)^2=6x(dx)^2.$(4.16)
 


Если же $ x={\varphi}(t)=t^2$, то $ dx=d{\varphi}(t;dt)={\varphi}'(t)dt=2tdt$, и тогда правая часть формулы (4.16) даёт:

$\displaystyle 6x(dx)^2=6t^2(2tdt)^2=24t^4(dt)^2.$

Однако при этом $ y=x^3=(t^2)^3=t^6$ и

$\displaystyle d^2y=(t^6)''(dt)^2=30t^4(dt)^2.$

Как видно, получилось не то же самое, что по формуле (4.16) с учётом зависимости $ {x=t^2}$. Следовательно, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Тем более, не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

   Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$
Решение. Составляем расширенную матрицу системы:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$
Умножим первую строку последовательно на $ (-2)$ , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Примеры решения и офомления задач контрольной работы

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам.
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности продажа болтов, анкерные болты, болт
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств