Системы линейных уравнений

 

        Определение 15.1   Системой $ m$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными называется система уравнений вида

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$ (15.1)

Система уравнений называется однородной, если $ {b_1=b_2=\ldots=b_m=0}$ и неоднородной в противном случае.        Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач Рассмотрим формулу простых процентов   

Систему (15.1) можно записать также в виде

 

$\displaystyle a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\ldots+a_{in}x_n=b_i,\quad i=1,2,\dots,m,$

или в виде

 

$\displaystyle \sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i,\quad i=1,2,\dots,m.$

Но наиболее удобной формой записи системы (15.1) является матричная запись. Введем следующие матрицы: матрица системы $ A$ , столбец неизвестных $ x$ и столбец свободных членов $ b$ ,

 

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&... ...ht), \quad b=\left(\begin{array}{c}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}\right).$

Читатель, выполнив матричное умножение, легко проверит, что с помощью введенных обозначений систему (15.1) можно записать в виде

$\displaystyle Ax=b.$ (15.2)

        Определение 15.2   Решением системы (15.1) называется любой набор чисел $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n}$ , которые при подстановке в систему вместо неизвестных $ {x_1,\,x_2,\dots,x_n}$ превращают все уравнения системы в верные равенства.

Решением системы (15.2) называется столбец чисел $ \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)$ , который после подстановки в уравнение вместо столбца $ x$ превращает уравнение (15.2) в верное матричное равенство.         

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

   Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$
Решение. Составляем расширенную матрицу системы:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$
Умножим первую строку последовательно на $ (-2)$ , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Примеры решения и офомления задач контрольной работы

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам.
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств