Линейная зависимость векторов Векторная алгебра

Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть в системе векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ подсистема $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_m$ , $ {m\leqslant k}$ , является линейно зависимой, то есть $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m=0$ , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m+0{\bf a}_{m+1}+\ldots+0{\bf a}_k$ . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Предложение 10.8 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Вычислить интегралы с помощью вычетов. ;

Доказательство. Пусть система состоит из вектора $ {\bf a}_1$ . Линейная комбинация имеет вид $ {\alpha}_1{\bf a}_1$ . Если $ {{\bf a}_1=0}$ , то $ {1\cdot{\bf a}_1=0}$ , то есть система линейно зависима. Если $ {{\alpha}_1{\bf a}_1=0}$ и $ {\alpha}_1\ne0$ , то $ {{\bf a}_1={\alpha}_1^{-1}\cdot 0=0}$ .

Предложение 10.9 Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.

Предложение 10.10 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство. Пусть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные. Если $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ . По предложению 10.7 система $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависима. Если векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- неколлинеарные, то по предложению 10.2 $ {\bf a}_3$ является линейной комбинацией векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2$ и по предложению 10.6 система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависимая.

Пусть система векторов линейно зависима. По предложению 10.6 один вектор, скажем $ {\bf a}_1$ , является линейной комбинацией других векторов, $ {\bf a}_2$ и $ {\bf a}_3$ , $ {{\bf a}_1={\alpha}_2{\bf a}_2+{\alpha}_3{\bf a}_3}$ . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ . Поэтому вектор $ {\bf a}_1$ лежит в одной плоскости с векторами $ {\bf a}_2,{\bf a}_3$ , то есть векторы $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные.

Предложение 10.11 Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.

Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему (предложение 10.10). Следовательно, вся система линейно зависима (предложение 10.7). Если первые три вектора-- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией (предложение 10.3). По предложению 10.6 система является линейно зависимой.

На основании сказанного дадим другое определение базиса, которое является более распространенным, чем определение 10.12.

Определение 10.16 Базисом векторного пространства $ L$ называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства $ L$ раскладывается по векторам этой системы.

Из предложений 10.8 – 10.11 следует, что это определение эквивалентноопределению 10.12.


Функции и их графики Второй способ задания функции: с помощью формулы


   Пример 1.15   Пусть $ y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots$. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что $ f(n)=n^2$ при любом $ n\in\mathbb{N}$. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Эта формула не противоречит выписанным значениям $ f_1,f_2,f_3$ и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения $ f_1,f_2,f_3$, но, быть может, другие значения $ f_4=f(4),f_5=f(5),\dots$.     

        Упражнение 1.1   Придумайте другую формулу, дающую те же самые значения $ f_1,f_2,f_3$, но при всех прочих $ n$ ( $ n=4,5,6,\dots$) дающую значения, не равные $ n^2$.

Указание: попробуйте, например, отыскать эту формулу в виде $ f(n)=an^3+bn+c$, подобрав коэффициенты $ a,b,c$ так, чтобы формула была верна при $ n=1,2,3$. Получится система трёх линейных уравнений для трёх неизвестных $ a,b,c$, рещив которую, вы найдёте, что $ f(n)=\frac{1}{6}n^3+\frac{11}{6}n-1$.     

 

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств