Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Первая теорема имеет вспомогательный характер для дальнейшего, хотя важна и сама по себе.

Пусть функция определена на некотором множестве $\mathcal{D}$ , и $E\sbs\mathcal{D}$ . Назовём точку $x_0\in E$ точкой максимума функции на множестве , если при всех $x\in E$ выполняется неравенство $f(x)\leqslant f(x_0)$ , и точкой минимума, если при всех $x\in E$ выполняется неравенство $f(x)\geqslant f(x_0)$ .

Точка , являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

Теорема 5.1 (Ферма) Пусть функция имеет на множестве точку экстремум а ${x_0\in E}$ , причём множество содержит некоторую ${\delta}$ -окрестность ${E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует. В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. Пусть функция непрерывна на отрезке .

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума

Замечание 5.1 Заметим, что условие

означает, что тангенс угла ${\alpha}$ наклона касательной к графику

, проведённой при

, равен 0. Отсюда ${{\alpha}=0}$ , то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).

Доказательство теоремы Ферма. Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке максимум. Тогда ${\Delta}f=f(x)-f(x_0)\leqslant 0$ при всех $x\in E_{{\delta}}$ , поскольку $f(x)\leqslant f(x_0)$ . Если взять $x>x_0, x\in E_{{\delta}}$ , то ${\Delta}x=x-x_0>0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$ . При вычислении производной мы переходим к пределу при ${\Delta}x\to0$ в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$

Аналогично, при $x<x_0, x\in E_{{\delta}}$ , ${\Delta}x=x-x_0<0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$ . Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$

Итак, выполняются два неравенства: $f'(x_0)\leqslant 0$ и $f'(x_0)\geqslant 0$ , что возможно лишь при

Пусть теперь функция имеет в точке минимум. Тогда ${\Delta}f=f(x)-f(x_0)\geqslant 0$ при всех $x\in E_{{\delta}}$ , поскольку $f(x)\geqslant f(x_0)$ . Если взять $x>x_0, x\in E_{{\delta}}$ , то ${\Delta}x=x-x_0>0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$ . Переходя к пределу при ${\Delta}x\to0+$ в разностном отношении, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$

Аналогично, при $x<x_0, x\in E_{{\delta}}$ , ${\Delta}x=x-x_0<0$ , и поэтому $\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$ . Вычисляя предел слева, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$

Из неравенств $f'(x_0)\geqslant 0$ и $f'(x_0)\leqslant 0$ получаем, что

Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

Пример 11.6 Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой