Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

 

Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде $ {Ax=b}$ , где матрица $ A$ имеет размеры $ {m\times n}$ .

        Предложение 15.4   Пусть $ c$ и $ d$  -- решения неоднородной системы $ {Ax=b}$ . Тогда их разность $ {g=c-d}$ является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы $ {Ax=0}$ .

        Доказательство.     По условию $ {Ac=b}$ и $ {Ad=b}$ . Тогда

 

$\displaystyle Ag=A(c-d)=Ac-Ad=b-b=0.$

Так как $ {Ag=0}$ , то $ g$  -- решение однородной системы.     

        Предложение 15.5   Пусть $ c$  -- решение неоднородной системы $ {Ax=b}$ , $ g$  -- любое решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {d=c+g}$  -- решение неоднородной системы.    

Доказательство предоставляется читателю.

        Определение 15.7   Пусть $ x^{(0)}$  -- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений $ {Ax=b}$ , $ z$  -- общее решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение $ {x=x^{(0)}+z}$ называется общим решением неоднородной системы.         

Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ , получаем для общего решения неоднородной системы формулу

$\displaystyle x=x^{(0)}+C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)}.$

Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ .

        Теорема 15.4   Система линейных уравнений $ {Ax=b}$ может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.

        Доказательство.     Пусть система имеет решение $ x^{(0)}$ . Если однородная система $ {Ax=0}$ имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что $ x^{(0)}$  -- единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент $ C_1$ , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.     

Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия


Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

Пример 11.6 Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ :
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию $ M_0$ точки $ M$ на прямую $ {\gamma}$ (рис 2.14).



Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств