Сравнение бесконечно больших величин

  Пример 5.10   Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$ Эта функция непрерывна справа в точке $ x=0$. Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену $ z=\dfrac{1}{h}$ :
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{h}-1... ...p{\rm th}\nolimits z-1}{\dfrac{1}{z}}= \lim_{z\to+\infty}\dfrac{-2z}{e^z+1}=0,$
поскольку, как мы выяснили выше, экспонента $ e^z$ растёт быстрее $ z$ при $ z\to+\infty$.
Во всех остальных точках $ x\ne0$ производная вычисляется с помощью правил дифференцирования:

Вычисление объема тела

$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm th}\nolimits z)'_z \cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}... ...t(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot \dfrac{4}{(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}.$
При $ x\to0+$ это выражение имеет предел
$\displaystyle \lim_{x\to0+}f'(x)= \lim_{x\to0+}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cd... ...}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}= -4\lim_{z\to+\infty}\dfrac{z^2}{(e^z+e^{-z})^2}=0,$
поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе.
Таким образом, получили, что $ \lim\limits_{x\to0+}f'(x)=f'(0)$, то есть производная оказалась непрерывной справа в точке $ x=0$.
Из того, что функция $ \mathop{\rm th}\nolimits $ -- нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции $ f(x)$, если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках $ x\in\mathbb{R}$, причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева.     
        Пример 5.11   Рассмотрим функцию
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$
При $ x\ne0$ её производная равна, как нетрудно подсчитать,
$\displaystyle f'(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3}.$
При $ x=0$ мы найдём производную, исходя из определения:
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h}= \lim_{z\to\infty}\dfrac{h}{e^{h^2}}=0$
(мы применили формулу $ f'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$, а затем сделали замену $ z=\dfrac{1}{h}$). Легко видеть, что предел производной также будет равен 0:
$\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)= \lim_{x\to0}e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3} =\lim_{z\to\infty}\dfrac{2z^3}{e^{z^2}}=0,$
так как $ e^{z^2}$ при $ z\to\infty$ растёт быстрее любой степени. Таким образом, $ f'(x)$ -- функция, непрерывная на всей числовой оси:
$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$
Аналогично можно убедиться, что
$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\left(\df... ...t),& \mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0,\mbox{ ---} \end{array}\right.$
непрерывная на $ \mathbb{R}$ функция, и вообще, при любом номере $ n$ производная $ f^{(n)}(x)$ имеет вид
$\displaystyle f^{(n)}(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot P\le... ...ac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0, \end{array}\right.$
где $ P(z)$ -- некоторый многочлен переменного $ z=\dfrac{1}{x}$. Легко видеть, что эта функция непрерывна при $ x=0$.
Таким образом, мы получили важный пример функции, которая всюду имеет производные любого порядка, и при этом в точке 0 все эти производные равны 0, в то время как сама функция отлична от 0 при всех $ x\ne0$.     
        Упражнение 5.6   Рассмотрите функцию
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x}},&\mbox{ при }x>0;\\ 0,&\mbox{ при }x\leqslant 0. \end{array}\right.$
Покажите, что все её производные существуют при всех $ x\in\mathbb{R}$ и непрерывны; при этом $ f^{(n)}(0)=0$ для любого $ n=0,1,2\dots$.      

Пределы Первый и второй замечательные пределы

 
        Упражнение 2.6   Покажите, что имеют место также равенства
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
    
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств