Кольца Группы Алгебраические структуры Определения

Кольца Группы Алгебраические структуры

В этом разделе мы будем предполагать, что на множестве заданы две различные операции. Одну из них мы назовем "сложением" и будем обозначать знаком "+", а другую будем называть "умножением" и записывать в виде $a\cdot b$ или .

Определение 16.2 Непустое множество $\mathcal{K}$ , на котором заданы две операции: сложение и умножение, будем называть кольцом, если выполнены следующие требования:

по отношению к операции сложения множество $\mathcal{K}$ является абелевой группой;
для любых $a,\,b,\,c$ из $\mathcal{K}$ выполнено (ассоциативность умножения);
для любых $a,\,b,\,c$ из $\mathcal{K}$ выполнено , (дистрибутивность умножения); Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Если умножение является коммутативной операцией, то кольцо называется коммутативным. Примерами коммутативных колец служат:

множество целых чисел;
множество вещественных чисел;
множество многочленов;
множество функций, непрерывных на отрезке .

Некоммутативным кольцом является множество квадратных матриц порядка с обычными операциями сложениия и умножения матриц.

Рассмотрим пример кольца, содержащего конечное число элементов.

Упражнение 2.6 Покажите, что имеют место также равенства

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

и

$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$

На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Кольца Группы Алгебраические структуры

Пределы Первый и второй замечательные пределы