Многочлен Тейлора Главы из учебника


Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена $ P(x)$.

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ некоторой точки $ x_0\in\mathbb{R}$ и имеет всюду в окрестности $ E$ производные $ f^{(k)}(x)$ при $ k=1,2,\dots,n$. Многочленом Тейлора степени $ n$ в точке $ x_0$ называется такой многочлен $ P(x)$ степени $ n$, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке $ x_0$, равны соответствующим значениям функции $ f(x)$ и её производных $ f^{(k)}(x)$ до порядка $ n$ в этой же точке:

$\displaystyle P^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0); k=0,1,2,\dots,n.$

Пластинка  задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Если это условие совпадения выполнено, то графики функций $ y=f(x)$ и $ y=P(x)$, по крайней мере при $ x$, близких к $ x_0$, будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство

$\displaystyle P(x_0)=f(x_0)$

означает, что графики проходят через одну и ту же точку $ (x_0;f(x_0))$; равенство

$\displaystyle P'(x_0)=f'(x_0)$

означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство

$\displaystyle P''(x_0)=f''(x_0)$

означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен $ P(x)$ степени $ n$ вида

$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$

можно представить в виде, расположенном по степеням бинома $ (x-x_0)$:

$\displaystyle P(x)=a_0(x-x_0)^n+a'_1(x-x_0)^{n-1}+a'_2(x-x_0)^{n-2}+\ldots+a'_{n-1}(x-x_0) +a'_n, $

и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням $ x$.

Действительно, положив $ t=x-x_0$, мы можем подставить $ x=t+x_0$ в правую часть формулы $ P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$, раскрыть степени $ (t+x_0)^k$ при $ k=2,3,\dots,n$ по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты $ a_i$ (кроме $ a_0$) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие ($ a'_i$ в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома $ x-x_0$, имеющий ту же степень $ n$.

Пределы Первый и второй замечательные пределы

 
        Упражнение 2.6   Покажите, что имеют место также равенства
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
    
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств