Поля Алгебраические структуры

        Определение 16.3   Полем называется коммутативное кольцо с единицей, в котором любой элемент, отличный от нуля, имеет обратный.         

Термин "кольцо с единицей" означает, что в кольце существет такой элемент $ e$ , что для любого элемента $ a$ выполнено $ {ae=a}$ и $ {ea=a}$ . Можно доказать, что элемент $ e$ , если он существует, определяется однозначно. Обратным элементом к элементу $ a$ называется такой элемент $ b$ , что $ {ab=e}$ . Можно доказать, что при этом $ {ba=e}$ , и что элемент $ b$ определяется однозначно. Обратный элемент к элементу $ a$ обозначается $ a^{-1}$ .

Примерами полей служат множество рациональных чисел и множество вещественных чисел. Последнее обычно обозначается $ \mathbb{R}$ . Можно доказать, что кольцо $ \mathbb{Z}_n$ также будет полем, если $ n$  -- простое число. Например, при $ {n=5}$ обратные элементы определяются так:

Задачи. Найти объем тела, заданного неравенствами.

 

$\displaystyle 1^{-1}=1,\quad2^{-1}=3,\quad3^{-1}=2,\quad4^{-1}=4.$

 

Еще один пример поля получим, если рассмотрим множество несократимых дробей вида $ \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , где $ P(x)$ и $ Q(x)$  -- многочлены, причем коэффициент при старшей степени $ x$ в многочлене $ Q(x)$ равен единице. Сложение и умножение производится по обычным правилам сложения и умножения дробей, только в результате обязательно производится сокращение на общий множитель, если таковой имеется. Заметим, что многочлен $ P(x)$ может иметь нулевую степень, то есть являться обычным числом, многочлен $ Q(x)$ тоже может быть числом, но в этом случае он обязательно равен 1.

Такое поле носит название поля дробно-рациональных функций.

В следующей главе мы рассмотрим еще один, очень важный, пример поля, а именно, поле комплексных чисел.


Пределы Первый и второй замечательные пределы

 
        Упражнение 2.6   Покажите, что имеют место также равенства
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
    
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств