Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Теорема 6.2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа)   Пусть при всех $ x\in E$ существует $ (n+1)$-я производная $ f^{(n+1)}(x)$. Тогда для любого $ x$ существует точка $ x_{{\theta}}$, лежащая между $ x_0$ и $ x$ (то есть $ x_{{\theta}}=x_0+{\theta}(x-x_0)$ при $ {\theta}\in(0;1)$), такая что
$\displaystyle R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$
(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)

        Доказательство.     Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию $ r$ переменного $ t$, изменяющегося в рассматриваемой окрестности $ E$ точки $ x_0$. Эта функция будет зависеть также от параметра $ {\alpha}\in\mathbb{R}$: Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость

$\displaystyle r(t)=f(x)-f(t)-f'(t)(x-t)-\frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2-\ldots- \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n-\dfrac{{\alpha}}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}.$

Подберём такое значение параметра $ {\alpha}$, равное $ {\alpha}_0$, чтобы при $ t=x_0$ функция обращалась в 0: $ r(x_0)=0$. Фиксируем такое значение $ {\alpha}={\alpha}_0$.

Тогда функция $ r(t)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке $ [x;x_0]$ (или $ [x_0;x]$, если $ x>x_0$): $ r(x)=0$, что очевидно по определению функции $ r(t)$; $ r(x_0)=0$ согласно выбору параметра; дифференцируемость на $ (x;x_0)$ и непрерывность в точках $ x$ и $ x_0$ следуют из предположенных свойств функции $ f(x)$. По теореме Ролля существует такая точка $ x_{{\theta}}\in(x;x_0)$, что

$\displaystyle r'(x_{{\theta}})=0.$

Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции $ r(t)$, что

$\displaystyle r'(t)=-f'(t)+f'(t)-f''(t)(x-t)+\dfrac{f''(t)}{2}\cdot2(x-t)-\ldots-$   
$\displaystyle -\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n+\dfrac{{\alpha}_0}{(n+1)!}(n+1)(x-t)^n.$   
 


Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем

$\displaystyle r'(t)=-\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n+\dfrac{{\alpha}_0}{(n+1)!}(n+1)(x-t)^n.$

Подстановка $ t=x_{{\theta}}$ даёт

$\displaystyle r'({\theta})=0=-\dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{n!}(x-x_{{\theta}})^n +\dfrac{{\alpha}_0}{n!}(x-x_{{\theta}})^n,$

откуда следует, что

$\displaystyle {\alpha}_0=f^{(n+1)}(x_{{\theta}}).$

Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что $ r(x_0)=0$. Подставив найденное значение $ {\alpha}_0$ в выражение для $ r(x_0)$, получим:

$\displaystyle r(x_0)=0=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots-$   
$\displaystyle -\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n- \dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$   
 


Отсюда получаем, наконец,

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-P(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_{{\theta}})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$

что и требовалось доказать.     

        Замечание 6.1   Полученную в предыдущей теореме оценку остатка удобно применять для оценки погрешности при замене функции её многочленом Тейлора, если известно, что $ (n+1)$-я производная при всех $ x$ из рассматриваемого интервала ограничена по абсолютной величине некоторым числом:
$\displaystyle \vert f^{(n+1)}(x)\vert\leqslant M_{n+1}.$
Тогда
$\displaystyle \vert f(x)-P(x)\vert\leqslant M_{n+1}(x-x_0)^{n+1},$
и при каждом фиксированном $ x$ мы можем узнать оценку погрешности приближённой формулы $ f(x)\approx P(x)$.     
        Замечание 6.2   Мы всюду подчёркивали, что приближённая формула $ f(x)\approx P(x)$ имеет место только при малых значениях отклонения $ x-x_0$. Надежды на то, что при увеличении $ n$ интервал, на котором можно будет применять с заданной точностью эту приближённую формулу, будет расширяться, вообще говоря, не оправдываются. Для пояснения сказанного приведём пример.
Пусть рассматривается функция $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$, доопределённая при $ x=0$ по непрерывности: $ f(0)=0$. Ранее мы уже рассматривали эту функцию и выяснили, что все её производные существуют на всей оси $ Ox$ и при $ x=0$ равны 0: $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Это означает, что при любом порядке $ n$ многочлена Тейлора все его коэффициенты $ a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$ равны 0, и формула Тейлора сводится к равенству $ f(x)=R_n(x)$. Таким образом, любой остаток в формуле Тейлора для этой функции в точке 0 равен одному и тому же, а именно, самой функции $ f(x)$! Поэтому уменьшить остаток за счёт увеличения $ n$ здесь никак не возможно: единственным приближением, которое формула Тейлора даёт для функции $ f(x)$, здесь служит тождественный 0.     

 

Пределы Первый и второй замечательные пределы

 
        Упражнение 2.6   Покажите, что имеют место также равенства
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
    
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств