Формула Тейлора для некоторых элементарных функций


Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при $ x_0=0$.

1. Рассмотрим функцию $ f(x)=e^x$. Все её производные совпадают с ней: $ f^{(k)}(x)=e^x$, так что коэффициенты Тейлора в точке $ x_0=0$ равны

$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)=\frac{1}{k!}e^0=\frac{1}{k!},\; k=0,1,2,\dots,n.$

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$ Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится.

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$. Её производные чередуются в таком порядке:

$\displaystyle f'(x)=\cos x,\; f''(x)=-\sin x,\; f'''(x)=-\cos x,\; f^{(4)}(x)=\sin x,$

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке $ x_0=0$ также возникает повторение:

$\displaystyle f(0)=0,\;f'(0)=\cos 0=1,\;f''(0)=-\sin 0=0,\;f'''(0)=-\cos 0=-1,\; f^{(4)}(0)=\sin 0=0$

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами $ n=2k-1$ равны 1 при $ n=1,5,9,\dots$, то есть при $ k=1,3,5,\dots$, и $ -1$ при $ n=3,7,11,\dots$, то есть при $ k=2,4,6,\dots$. Таким образом, $ f^{(2k-1)}(0)=(-1)^{k-1}$ при всех $ k\in\mathbb{N}$ и коэффициенты Тейлора равны

$\displaystyle a_n=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ при }n=2k, k=0,1,2,\dots\... ...{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!},&\mbox{ при }n=2k-1, k=1,2,3,\dots. \end{array}\right. $

Получаем формулу Тейлора для синуса:

$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Заметим, что мы можем записать остаточный член $ R_{2k}(x)$ вместо $ R_{2k-1}(x)$ (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка $ 2k$, с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции $ f(x)=\cos x$ производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке $ x_0=0$ имеют то же чередование:

$\displaystyle f(0)=\cos0=1,\;f'(0)=-\sin0=0,\;f''(0)=-\cos0=-1,\;f'''(0)=\sin0=0,$   
$\displaystyle f^{(4)}(0)=\cos0=1,\dots$   
 


Нетрудно видеть, что $ f^{(n)}(0)=0$ при $ n=2k-1$, $ k=1,2,3,\dots,$ и $ f^{(n)}(0)=(-1)^k$ при $ n=2k$, $ k=0,1,2,\dots$. Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее $ x^{2k+1}$ с нулевым коэффициентом.

Пределы Первый и второй замечательные пределы

 
        Упражнение 2.6   Покажите, что имеют место также равенства
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
    
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств