Построение поля комплексных чисел

Из курса школьной математики известно, что любое уравнение $ {ax+b=0}$ имет решение при $ {a\ne0}$ . С другой стороны, квадратное уравнение не всегда имеет решение. Например, решения не имеет уравнение $ {x^2+1=0}$ . Возникает вопрос, нельзя ли сделать так, чтобы любое квадратное уравнение имело решение?

Предположим, что уравнение $ {x^2+1=0}$ имет решение. Число (абстрактный элемент, не принадлежащий полю вещественных чисел), которое является решением, обозначим буквой $ i$ , то есть $ {i^2=-1}$ . Мы должны иметь возможность умножать это число на любое вещественное число. Значит, должны появиться числа вида $ bi$ , где $ b$  -- вещественное число. Для них должна быть возможность сложения с любым вещественным числом. Поэтому должны появиться числа вида $ {a+bi}$ . Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y.

        Определение 17.1   Числа вида $ a+bi$ , где $ a$ и $ b$  -- вещественные числа, называются комплексными числами.         

Посмотрим, какие действия арифметики можно производить с комплексными числами. Сложение чисел должно удовлетворять обычным правилам, поэтому:

$\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$(17.1)

При вычислении произведения скобки раскроем привычным способом:
$\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2= ac+(bc+ad)i+bdi^2.$
Так как $ i^2=-1$ , то получим
$\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.$(17.2)

Итак, результаты сложения и умножения комплексных чисел снова оказались комплексными числами. Операцию вычитания определить не сложно:
$\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$(17.3)

Рассмотрим операцию деления. Учтем, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число дробь не меняется:
$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}= \frac{ac+bci-adi-bdi^2}{c^2-d^2i^2}.$
Так как $ i^2=-1$ , то
$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.$(17.4)

Результат деления двух комплексных чисел оказывается снова комплексным числом. Как видно из полученной формулы, деление нельзя выполнить лишь в том случае, когда $ {c=d=0}$ , но в этом случае делитель $ {c+di}$ тоже равен нулю. Следовательно, невозможно лишь деление на нуль, что соответствует обычным правилам действий с числами.

Итак, мы вроде бы расширили множество вещественных чисел. Но есть в этом построении один существенный пробел. Мы предположили, что есть такое число $ i$ , что $ {i^2=-1}$ . А, может быть, его на самом деле нет? Чтобы исправить это упущение, используем для построения комплексных чисел уже существующее множество.

Пусть $ \mathcal{P}$  -- множество пар вещественных чисел: $ {\mathcal{P}=\{(a,b)\vert a,b\in\mathbb{R}\}}$ . На этом множестве определим операции

  1. сложения:
  2. $\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);$
  3. вычитания:
    $\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d);$
  4. умножения:
    $\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);$
  5. деления:
    $\displaystyle \frac{(a,b)}{(c,d)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \right).$

Очевидно, что комплексное число, как оно было определено раньше, -- просто другая форма записи пары вещественных чисел $ (a,b)$ , где вместо запятой стоит "+", а второй элемент пары выделяется умножением на букву $ i$ . В новой форме записи вещественные числа -- это пары $ {(a,0)}$ , числу $ i$ соответствует пара $ {(0,1)}$ , сложение, вычитание, умножение и деление пар чисел и комплексных чисел происходят по одинаковым правилам. Таким образом, комплексные числа стали реально существующим множеством.

Однако в математике, в силу традиции, используется запись комплексного числа $ {a+bi}$ , введенная в начале раздела. Причем принято считать, что

$\displaystyle a+0\cdot i=a,\quad 0+bi=bi,\quad0+0\cdot i=0,\quad1\cdot i=i.$

Можно проверить, что комплексные числа образуют поле. В нем обратным элементом к комплексному числу $ {a+bi}$ служит результат деления 1 на $ {a+bi}$ :

$\displaystyle \frac1{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-b^2i^2}= \frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac a{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i.$
Это поле называется полем комплексных чисел и обозначается $ \mathbb{C}$ .

Число $ i$ называется мнимой единицей, числа $ bi$  -- мнимыми числами. Если $ {z=a+bi}$ , то число $ a$ называется вещественной частью комплексного числа и обозначается $ \mathop{\rm Re}\nolimits z$ , число $ b$ называется мнимой частью и обозначается $ \mathop{\rm Im}\nolimits z$ . Число $ {a-bi}$ называется сопряженным числу $ z$ и обозначается $ \ovl z$ , то есть $ {\ovl z=\overline{a+bi}=a-bi}$ .

Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств