Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами Замечания

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения ${x^2+1=0}$ мы одно решение знаем: ${x_1=i}$ . Очевидно, что ${(-i)^2=i^2=-1}$ , поэтому ${x_2=-i}$ . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.

Замечание 17.2 Числа

в поле комплексных чисел абсолютно равноправны. Если бы число

обозначить

и построить с этим обозначением новое поле комплексных чисел, то оно будет в точности таким же, как и исходное.

Рассмотрим уравнение ${x^2+c=0}$ , где -- вещественное положительное число. Легко проверить, что его корни ${x_1=\sqrt c\,i}$ , ${x_2=-\sqrt c\,i}$ , где $\sqrt c$ -- обычный арифметический корень.

Решим уравнение ${ax^2+bx+c=0}$ , где $a,\,b,\,c$ -- вещественные числа, ${a\ne0}$ , ${D=b^2-4ac<0}$ . Для этого выделим в правой части полный квадрат (см. пример 12.1):

$\displaystyle a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0.$

Откуда

Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

$\displaystyle \left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0.$

Если ${x+\dfrac b{2a}}$ обозначить , а $\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$ обозначить , то получим уравнение предыдущего типа, его решения:

$\displaystyle y_1=\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a^2}}i=\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i,\quad y_2=-\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i.$

Поэтому

$\displaystyle x_{1,2}+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i,$

то есть

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\vert D\vert}i}{2a}.$

Итак, если дискриминант отрицательный, то корни уравнения находятся по формулам:

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\vert D\vert}i}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\vert D\vert}i}{2a}.$

(17.5)

Пример 17.2 Решите уравнение ${x^2+2x+5=0}$ .

Решение. Находим дискриминант:

$\displaystyle D=4-20=-16,\quad \vert D\vert=16.$

Находим корни:

$\displaystyle x_1=\frac{-2+\sqrt{16}i}2=-1+2i,\quad x_2=\frac{-2-\sqrt{16}i}2=-1-2i.$

Ответ: ${x_1=-1+2i,\quad x_2=-1-2i}$ .

Смешанное произведение Векторная алгебра

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению ${\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если ${{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если ${{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.