Формула ТейлораУпражнения


        Упражнение 6.5   Найдите разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$ функций
а) $ f(x)=e^{-x}$;
б) $ f(x)=e^{3x}$;
в) $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$;
г) $ f(x)=\sin x^2$;
д) $ f(x)=\cos3x$;
е) $ f(x)=\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}$;
ж) $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$;
з) $ f(x)=\sqrt{1-x^2}$. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

Ответы:

а) $ e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+ R_n(x)$;

б) $ e^{3x}=1+3x+\dfrac{3^2}{2!}x^2-\dfrac{3^3}{3!}x^3+\ldots+ (-1)^n\dfrac{3^n}{n!}x^n+R_n(x)$;

в) $ e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{2^22!}- \dfrac{x^6}{2^33!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^nn!}+R_{2n+1}(x)$;

г) $ \sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{4k-2}}{(2k-1)!}+R_{4k+1}(x)$;

д) $ \cos3x=1-\frac{3^2}{2!}x^2+\frac{3^4}{4!}x^4-\frac{3^6}{6!}x^6+\ldots+ (-1)^k\frac{3^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

е) $ \mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\ldots+ \frac{x^k}{(2k)!}+R_k(x)$;

ж) $ \dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^kx^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

з) $ \sqrt{1-x^2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+ \dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+ \dfrac{1\cdot3\... ...1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}x^{2k}+ R_{2k+1}(x)$.     

        Упражнение 6.6   Найдите следующие пределы, применив разложение числителя и знаменателя по формуле Тейлора:
а) $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1-x^3}{\sin3x^2-3x^2}$;
б) $ \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1-x^2)+x^2+\frac{x^4}{2}}{e^{2x^2}-1-2x^2-2x^4}$.

Ответы:
а) $ -\frac{1}{9}$;
б) $ -\frac{1}{4}$.     

Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств