Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа Примеры

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Пример 17.3 Изобразим на комплексной плоскости числа ${z_1=2+i}$ , ${z_2=3i}$ , ${z_3= -3+2i}$ , ${z_4=-1-i}$ , ${z_5=-3}$ : Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Рис.17.1.Изображение комплексных чисел точками плоскости

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число изображается радиус-вектором точки с координатами . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:
Рис.17.2.Изображение комплексных чисел векторами

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие (рис. 17.3).
Рис.17.3.Изображение суммы комплексных чисел

Пусть комплексное число изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа и обозначается $\vert z\vert$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}.$ (17.6)

Смешанное произведение Векторная алгебра

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению ${\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если ${{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если ${{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.