Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Рис.17.4.Модуль и аргумент Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Угол, образованный радиус-вектором числа с осью , называется аргументом числа и обозначается $\arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $2\pi$ или в диапазоне от $-\pi$ до $\pi$ . Кроме того у числа аргумент не определен.
На рис. 17.4 $\arg z$ равен углу ${\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что
$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$
С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$ или $\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$

(17.7)

причем первая формула действует, если изображение числа находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если , то комплексное число изображается вектором на оси и его аргумент равен $\frac{\pi}2$ или $\frac{3\pi}2$ .
Получим еще одну полезную формулу. Пусть . Тогда ${\ovl z=a-bi}$ ,
$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$
С учетом формулы (17.6) получим
$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$
или
$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$
Пример 17.4 Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: ${z_1=-1+i}$ , ${z_2=4}$ , ${z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , ${z_4=5i}$ , ${z_5=-2-3i}$ .
Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:
$\displaystyle z_1=-1+1i,\quad z_2=4+0\cdot i,\quad z_3=-\frac12+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)i,$
$\displaystyle z_4=0+5i,\quad z_5=-2+(-3)i.$
Тогда по формулам (17.6) и (17.7) находим:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2,\quad \arg z_1=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac1{-1}=\pi-\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4;$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{4^2+0^2}=4,\quad \arg z_2=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac04=0;$
$\begin{multline*} \vert z_3\vert=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sq... ...left(-\frac12\right)\right)=\\ =\pi+\frac{\pi}3=\frac{4\pi}3; \end{multline*}$

$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{0^2+5^2}=5,\quad \arg z_4=\frac{\pi}2;$
$\displaystyle \vert z_5\vert=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad \arg z_5=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-3}{-2}=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5.$
В последнем случае можно вычислить с помощью калькулятора ${\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5}$ и записать ${\arg z_5\approx 4.1244}$ .

Смешанное произведение Векторная алгебра

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению ${\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если ${{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если ${{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.