Асимптоты графика функции Определения

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции

называется вертикальная прямая

, если $f(x)\to+\infty$ или $f(x)\to-\infty$ при каком-либо из условий: $x\to a+$ , $x\to a-$ , $x\to a$ . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка

принадлежала области определения функции

, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: $(a-{\delta};a)$ или $(a;a+{\delta})$ , где ${\delta}>0$ .

Пример 7.1 Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ . График

имеет вертикальную асимптоту

, поскольку при $x\to1+$ выполняется условие $\frac{1}{x-1}\to+\infty$ , а также при $x\to1-$ выполняется условие $\frac{1}{x-1}\to-\infty$ .

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ось вращения .

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции $f(x)=\frac{1}{x-1}$

Пример 7.2 Рассмотрим функцию $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$ . Её график имеет вертикальную асимптоту

, так как $e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$ при $x\to0+$ . То, что при $x\to0-$ функция

не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая

являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, $e^{\frac{1}{x}}\to0+$ при $x\to0-$ .)

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$

Пример 7.3 Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$ . Прямая

является вертикальной асимптотой графика

, так как $f(x)\to-\infty$ при $x\to0+$ . Заметим, что слева от точки

функция вообще не определена.

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции $f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$

Смешанное произведение Векторная алгебра

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению ${\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если ${{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если ${{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.