Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

$\displaystyle e^{i{\varphi}}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi},$(17.10)


которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число $ z$ в тригонометрической форме имеет вид $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

$\displaystyle z=re^{i{\varphi}}.$

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ .

 

Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств