Показательная форма комплексного числа Примеры

Показательная форма комплексного числа

Пример 17.7 Пусть . Напишите показательную форму числа .
Решение. Находим модуль и аргумент числа:
$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=\frac{3\pi}4.$
Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:
$\displaystyle z=\sqrt2e^{\frac{3\pi}4i}.$

Пример 17.8 Комплексное число записано в показательной форме

$\displaystyle z=2e^{\frac{\pi}6i}.$

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями

Найдите его алгебраическую форму.
Решение. По формуле Эйлера
$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\right)=2\left(\frac{\sqrt3}2+ i\frac12\right)=\sqrt3+i.$
Итак, алгебраическая форма числа: ${z=\sqrt3+i}$ .
С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть . Тогда
$\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$
Например,
$\displaystyle e^{2+\frac{5\pi}6i}=e^2\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)= -e^2\frac{\sqrt3}2+\frac{e^2}2i.$
Заменим в формуле Эйлера ${\varphi}$ на $-{\varphi}$ . Получим:
$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi}).$
С учетом свойств тригонометрических функций имеем:
$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos{\varphi}-i\sin{\varphi}.$
Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:
$\displaystyle e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}=2\cos{\varphi}.$
Откуда

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}}2.$

(17.11)

Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}-e^{-i{\varphi}}}{2i}.$

(17.12)

С помощью формулы для косинуса вычислим, например, $\cos(5i)$ :
$\displaystyle \cos(5i)=\frac{e^{i(5i)}+e^{-i(5i)}}2=\frac{e^{-5}+e^5}2 \approx 74.21.$
Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1. Более того, в комплексной области функции $\cos z$ и $\sin z$ , определяемые с помощью формул(17.11) и(17.12), являются неограниченными функциями. Действительно, из этих формул мы получаем:

$\displaystyle \cos{\varphi}=ch(i{\varphi}),\quad \sin{\varphi}=-i sh(i{\varphi})$

(17.13)

Так как гиперболические косинус и синус являются неограниченными функциями, то и тригонометрические функции косинус и синус являются неограниченными функциями (в комплексной области).
Отметим также, что формулы(17.13) объясняют, почему для гиперболических функций многие соотношения очень похожи на соотношения между тригонометрическими функциями, например, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента.

Смешанное произведение Векторная алгебра

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению ${\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если ${{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если ${{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.