Аналитическая геометрия Возрастание и убывание функции

   Пример 7.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси $ \mathbb{R}$: из $ x_1<x_2$ следует, что $ x_1^3<x_2^3$. Однако неверно, что $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$: действительно, производная $ f'(x)=3x^2$ обращается в 0 при $ x=0$.     

 

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство $ f'(x)\geqslant 0$.

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции $ f(x)$, надо решить относительно $ x$ неравенство $ f'(x)>0$, а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство $ f'(x)<0$.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

 

        Пример 7.16   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\ln x$. Её производная такова:
$\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}= x(2\ln x+1).$
Интервал возрастания функции можно найти из неравенства
$\displaystyle x(2\ln x+1)>0.$
При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции $ x>0$, так что нужно решать неравенство $ 2\ln x+1>0$. Отсюда $ x>e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$. Таким образом, функция $ f(x)$ возрастает на интервале $ (\dfrac{1}{\sqrt{e}};+\infty)$. Нетрудно видеть, что при $ x\in(0;\dfrac{1}{\sqrt{e}})$ выполняется обратное неравенство $ f'(x)<0$, так что на этом интервале функция убывает.     

 


Рис.7.17.График функции $ f(x)=x^2\ln x$

Если два интервала возрастания функции $ f(x)$ примыкают друг к другу, то есть имеют вид $ (a;b)$ и $ (b;c)$, и функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ b$, то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на $ (a;c)$. То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции

        Пример 7.17   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3e^x$. Её производная имеет вид
$\displaystyle f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).$
Решая неравенство $ f'(x)>0$, получаем: $ x\in(-3;0)\cup(0;+\infty)$; при $ x=0$ функция, очевидно, непрерывна, так что $ f(x)$ возрастает на объединённом интервале, то есть при $ x\in(-3;+\infty)$. Решение неравенства $ f'(x)<0$ даёт только один интервал $ (-\infty;-3)$; на нём функция убывает.     

Рис.7.19.График функции $ f(x)=x^3e^x$

Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику $ y=f(x)$ (равный производной) положителен, то угол наклона касательной -- острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной -- тупой, и тогда функция убывает.

Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции


Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств