Извлечение корня из комплексного числа

    Пример 17.9   Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .
Решение. Запишем число $ -1$ в тригонометрической форме:
$\displaystyle -1=1\cdot (\cos\pi+i\sin\pi),$
то есть $ {\rho=1}$ , $ {\psi=\pi}$ . Тогда
$\displaystyle z=\sqrt[4]1\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}4=i\sin\frac{\pi+2\pi k}4\right), k=0,1,2,3.$
При $ {k=0}$ получим:
$\displaystyle z_1=\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и

При $ {k=1}$ получим:
$\displaystyle z_2=\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=2}$ получим:
$\displaystyle z_3=\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=3}$ получим:
$\displaystyle z_4=\cos\frac{7\pi}4+i\sin\frac{7\pi}4=\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
Ответ: $ {z_1=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_2=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_3=-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_4=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ .         
 
 


Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств