Функции графики Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение 7.4   Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$, $ {{\delta}>0}$, некоторой точки $ x_0$ своей области определения. Точка $ x_0$ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$ ($ \forall x\in E$), и точкой локального минимума, если $ f(x)\geqslant f(x_0)$ $ \forall x\in E$.     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка $ x_0$ была точкой локального экстремума функции $ f(x)$.

        Теорема 7.4   Если точка $ x_0$ -- это точка локального экстремума функции $ f(x)$, и существует производная в этой точке $ f'(x_0)$, то $ f'(x_0)=0$.

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция $ f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $ x_0$, то либо
1) $ f'(x_0)=0$, либо
2) производная $ f'(x_0)$ не существует.

Точка $ x_0$ называется критической точкой функции $ f(x)$, если $ f(x)$ непрерывна в этой точке и либо $ f'(x_0)=0$, либо $ f'(x_0)$ не существует. В первом случае (то есть при $ f'(x_0)=0$) точка $ x_0$ называется также стационарной точкой функции $ f(x)$.

Итак, локальный экстремум функции $ f(x)$ может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

        Пример 7.18   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4+2x^2+5$. Её производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$ и равна $ f'(x)=4x^3+4x$. Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением $ 4x^3+4x=0$. Это уравнение можно записать в виде $ 4x(x^2+1)=0$; оно имеет единственный корень $ x=0$: это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2+1)^2+4$, легко увидеть, что в стационарной точке $ x=0$ функция имеет минимум, равный $ (0^2+1)^2+4=5$.     

Рис.7.21.График функции $ y=x^4+2x^2+5$


        Пример 7.19   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2+5$. Как и в предыдущем примере, производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$; она равна $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$. Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: $ -1;0;1$.

Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2-1)^2+4$, легко увидеть, что в точках $ x=\pm1$ функция имеет минимум, так как в этих точках выражение $ x^2-1$ обращается в 0, и

$\displaystyle f(x)=4+(x^2-1)^2\geqslant 4=f(\pm1).$

Если же мы запишем функцию в виде $ f(x)=5-x^2(4-x^2)$, то убедимся, что точка $ x=0$ -- точка локального максимума, поскольку при малых $ \vert x\vert$ выражение $ 4-x^2$ положительно, и

$\displaystyle f(x)=5-x^2(4-x^2)\leqslant 5=f(0).$

    

Рис.7.22.График функции $ y=x^4-2x^2+5$
 

    

Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств