Аналитическая геометрия Выпуклость функции


        Определение 7.5   Функция $ f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$.
Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$ можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды -- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.
То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))$(7.4)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$. Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера
Аналогично определяется выпуклость вверх: функция $ f(x)$ называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при . Это означает, что
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\geqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0)$(7.5)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.     

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций

Легко видеть, что функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$ выпукла на $ (a;b)$

Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств