Выпуклость функции Функции графики примеры

 

 Пример 7.32   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4$; её вторая производная $ f''(x)$ равна $ 12x^2$ и равняется 0 при $ x=0$. Однако поскольку $ f''(x)=12x^2\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, функция $ f(x)$ выпукла на всей оси $ Ox$, согласно теореме 7.11. Точка 0 не разделяет здесь интервалы разного направления выпуклости.     

Рис.7.42.Точка 0 не разделяет интервалы разного направления выпуклости функции $ f(x)=x^4$

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.



        Пример 7.33   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Тогда $ f''(x)=6x$ и $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''(0)=0$) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$.     

Рис.7.43.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$

        Пример 7.34   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{ll} x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -x^2,&\mbox{ при }x<0. \end{array}\right. $ Тогда $ f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -2x,&\mbox{ при }x<0, \end{array}\right. $ и $ f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2,&\mbox{ при }x>0;\\ -2,&\mbox{ при }x<0 \end{array}\right. $ (при $ x=0$ вторая производная не существует). Тогда $ f''(x)=2>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)=-2<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''$ не существует) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.44.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x$

        Пример 7.35   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sqrt[3]{x}$. Тогда $ f''(x)=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$ (проверьте, что это так!). При $ x=0$ вторая производная (как и первая) не существует. Однако снова $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.45.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=\sqrt[3]{x}$

        Упражнение 7.2   Проверьте, пользуясь определением точки перегиба, что если $ f(x)$ -- линейная функция ($ f(x)=kx+b$), то любая точка $ x$ есть её точка перегиба.
Проверьте, что любая точка $ x$ (в том числе $ x=0$) есть точка перегиба функции $ f(x)=\vert x\vert$.     
Итак, точки перегиба содержатся в списке тех точек $ x_0$, в которых либо $ f''(x_0)=0$, либо $ f''(x_0)$ не существует. Однако такая точка $ x_0$ может и не оказаться точкой перегиба; для выяснения нужно исследовать поведение функции слева и справа от "подозрительной" точки $ x_0$.
егко видеть, что функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$ выпукла на $ (a;b)$
ис.7.35.Функция $ f(x)=\vert x\vert^3$ выпукла на всей оси
       

Смешанное произведение Векторная алгебра


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств