Вершины кривых Приближённое нахождение корней уравнений Определения

По аналогии с параболой мы можем дать такое определение:

Определение 8.2 Назовём вершиной кривой

любую точку этой кривой, в которой кривизна

имеет локальный экстремум.

В соответствии с этим определением вершина параболы является вершиной линии в новом, обобщённом, смысле. Продолжим функцию на отрезок нечетным образом

Пример 8.2 Рассмотрим окружность

. Её верхняя половина (при ${y\geqslant 0}$ ) -- это график функции $y=\sqrt{R^2-x^2}$ на отрезке

. Возьмём точку ${x\in(-R;R)}$ и найдём кривизну окружности при этом

. Имеем:

$\displaystyle y'=-\dfrac{x}{(R^2-x^2)^{\frac{1}{2}}},$

$\displaystyle y''=-\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}},$

откуда

$\displaystyle k(x)=\dfrac{\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}} {\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}= \dfrac{R^2}{R^3}=\dfrac{1}{R}.$

Получаем, что кривизна окружности в любой её точке одинакова и обратна радиусу окружности²³.

Пример 8.3 Рассмотрим прямую

. Поскольку

, то кривизна прямой в любой точке равна 0. Как и у окружности, все точки прямой -- это её вершины.

Заметим, что, по определению, кривизна неотрицательна, так что если она равна 0 в некоторой точке кривой , то эта точка является вершиной кривой. Поскольку $k(x)=\dfrac{\vert f''(x)\vert}{(1+(f'(x))^2)^{\frac{3}{2}}},$ это может случиться лишь при , в частности, во всех точках перегиба функции (тех, где вторая производная существует).