Определение и примеры Линейные преобразования

 

Рассмотрим линейное пространство $ L$ и преобразование $ \mathcal{A}$ этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору $ x$ из $ L$ соответствует вектор $ x'$ из того же пространства. Вектор $ x'$ называется образом вектора $ x$ и обозначается $ {\mathcal{A}(x)}$ , а вектор $ x$ называется прообразом вектора $ x'$ .
        Определение 19.1   Преобразование $ \mathcal{A}$ линейного пространства $ L$ называется линейным, если для любых векторов $ x$ и $ y$ и любого числа $ {\alpha}$ выполнены равенства
$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y),\quad \mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x),$(19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.         
        Замечание 19.1   В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.         

Линейное преобразование пространства $ L$ называют также линейным отображением из $ L$ в $ L$ или линейным оператором из $ L$ в $ L$ . Найти формулу вычисления объема шара. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

$\displaystyle \mathcal{A}\left(\sum_{i=1}^k{\alpha}x_i\right)=\sum_{i=1}^k{\alpha}\mathcal{A}(x_i),$
то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

Проекции вектора Векторная алгебра

Предложение 10.14   Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций. Т

    Если проекции слагаемых одного знака, то доказательство очевидно из рис. 10.21.

Рис.10.21.Проекция суммы

Случай проекций разных знаков читатель может проанализировать самостоятельно или прочесть в одном из учебников из списка литературы.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств