Определение и примеры Линейные преобразования

 

Упражнение19.1.1. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в вектор $ x'$ симметричный исходному относительно прямой $ l$ (рис. 19.5). Другими словами, $ x'$ является зеркальным отражением вектора $ x$ в прямой $ l$ . Исследовать систему уравнений Математика решение задач

Рис.19.5.Преобразование отражения


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.



Упражнение19.1.2. Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6).

Рис.19.6.Преобразование проектирования


Докажите, что $ \mathcal{A}$ является линейным преобразованием.

        Пример 19.3   Пусть $ L$  -- пространство всех многочленов, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, которое переводит вектор из $ L$ , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из $ L$ . Пусть $ {x\in L}$ , то есть $ {x=a_0+a_1t+a_2t^2+\ldots+a_kt^k}$ . Тогда
$\displaystyle \mathcal{A}(x)=x'=a_1+2a_2t+\ldots+ka_kt^{k-1}.$
Например, если $ {x=1-3t+t^2+2t^3}$ , то $ {\mathcal{A}(x)=-3+2t+6t^2}$ . Покажем, что преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.
Пусть $ x,y\in L$ , $ {\alpha}$  -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим
$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=(x+y)'=x'+y'=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y).$
Аналогично,
$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)=({\alpha}x)'={\alpha}x'={\alpha}\mathcal{A}(x).$
Следовательно, $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование.         
        Пример 19.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда у любого вектора $ x$ есть его координатный столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ . Пусть $ A$  -- квадратная матрица порядка $ n$ . Определим преобразование $ \mathcal{A}$ следующим образом: $ {x'=\mathcal{A}(x)}$ является вектором, координатный столбец которого равен $ {{\alpha}'=A{\alpha}}$ (справа стоит произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$ ). Покажем, что преобразование $ \mathcal{A}$  -- линейное.
Пусть $ x$ и $ y$ имеют координатные столбцы $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ соответственно, а их образы $ \mathcal{A}(x)$ и $ \mathcal{A}(y)$  -- координатные столбцы $ {\alpha}'$ , и $ {\beta}'$ . Тогда
$\displaystyle {\alpha}'=A{\alpha},\quad {\beta}'=A{\beta},\quad {\alpha}'+{\beta}'=A{\alpha}+A{\beta}=A({\alpha}+{\beta}).$
Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов $ {x+y}$ . Следовательно, $ {\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)=\mathcal{A}(x+y)}$ .
Пусть $ {\lambda}$  -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора $ {\lambda}x$ равен $ {\lambda}{\alpha}$ , координатный столбец образа вектора
$\displaystyle A({\lambda}x)={\lambda}A{\alpha}={\lambda}{\alpha}',$
то есть равен числу $ {\lambda}$ , умноженному на координатный столбец образа вектора $ x$ . Поэтому $ {\mathcal{A}({\lambda}x)={\lambda}\mathcal{A}(x)}$ . Тем самым мы доказали, что преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.         

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, $ {\mathcal{A}(x)=x}$ , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, $ {\mathcal{A}(x)=0}$ .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования $ \mathcal{A}$ образ нуля равен нулю, $ {\mathcal{A}(0)=0}$ . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

$\displaystyle \mathcal{A}(0)=\mathcal{A}(0\cdot x)=0\cdot\mathcal{A}(x)=0.$

Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто $ p$ соответствует ровно один выданный номерок $ n$. Таким образом, между множеством $ P$ сданных пальто и множеством выданных номерков $ N'$ ($ N'$-- это подмножество множества $ N$ всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $ f: p\mapsto n$ ($ p\in P$, $ n\in N'$).

Определение 1.4 Если $ f:A\to B$-- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $ y\in B$ тот элемент $ x\in A$, который переходит в этот самый $ y$ при отображении $ f$, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению $ f$ и обозначается $ f^{-1}$. Таким образом, $ f^{-1}:B\to A$, и $ f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $ f(x)=y$ ($ x\in A$, $ y\in B$).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $ f:P\to N'$-- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $ n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $ p\in P$. Соответствие $ g:N'\to P$, $ n\mapsto p$ ($ n\in N'$, $ p\in P$)-- это обратная функция к функции $ f:P\to N'$, $ p\mapsto n$, то есть $ g=f^{-1}$.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств