Матрица линейного преобразования примеры

Матрица линейного преобразования

В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $\mathcal{A}$ -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть ${{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора ${\mathcal{A}(x)}$ обозначим ${\beta}$ . Предел последовательности Математика решение задач

Запишем разложение вектора по базису пространства ${x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ . Для образа этого вектора получим

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\mathcal{A}({\alpha}_1e_1+\ldots+{\alpha}_ne_n)= ... ..._1)+\ldots+{\alpha}_n\mathcal{A}(e_n)= \sum_{j=1}^n{\alpha}_j\mathcal{A}(e_j).$

(19.2)

Векторы ${\mathcal{A}(e_1),\,\mathcal{A}(e_2),\ldots,\,\mathcal{A}(e_n)}$ имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их $\left(\begin{array}{c}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1}\end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{c}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{n2}\end{array}\right)$ , ..., $\left(\begin{array}{c}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{nn}\end{array}\right)$ соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

$\displaystyle \mathcal{A}(e_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i,\quad j=1,\,2,\ldots,\,n.$

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j\left(\sum_{i=1}^na_{ij}e_i\... ..._{ij}{\alpha}_j)e_i= \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j\right)e_i.$

Это равенство означает, что -той координатой вектора $\mathcal{A}(x)$ служит ${\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j}$ .

Составим матрицу из координатных столбцов векторов ${\mathcal{A}(e_1)}$ , ..., ${\mathcal{A}(e_n)}$

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{2... ...dots&a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{array}\right).$

Вычислим произведение матрицы на столбец ${\alpha}$

$\displaystyle A{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle\sum_{j=1}^na_{1j}{... ..._j}\\ \vdots\\ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{nj}{\alpha}_j}\end{array}\right).$

Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора ${\mathcal{A}(x)}$ . Поэтому

$\displaystyle {\beta}=A{\alpha}.$

(19.3)

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица называется матрицей линейного преобразования $\mathcal{A}$ . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .