Матрица линейного преобразования примеры

Матрица линейного преобразования

Пример 19.5 Найдем матрицу линейного преобразования $\mathcal{A}$ из примера 19.1.

Выберем какой-нибудь базис ${e_1,\,e_2}$ . Тогда

$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)=2e_1=2e_1+0e_2.$

Следовательно, первый столбец матрицы

имеет вид $\left(\begin{array}{r}2\\ 0\end{array}\right)$ . Аналогично

$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)=2e_2=0e_1+2e_2,$

Второй столбец матрицы

имеет вид $\left(\begin{array}{r}0\\ 2\end{array}\right)$ . В итоге

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}2&0\\ 0&2\end{array}\right).$ Методы интегрирования Математика решение задач

Пример 19.6 Найдем матрицу линейного преобразования $\mathcal{A}$ из примера 19.2. Угол ${\varphi}$ возьмем равным $\frac{\pi}6$ . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j.

Из рисунка 19.7 видно, что вектор ${\mathcal{A}({\bf i})}$ имеет координаты ${\cos\frac{\pi}6=\frac{\sqrt3}2}$ и ${\sin\frac{\pi}6=\frac12}$ .

Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота

Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид $\left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12\end{array}\right)$ . Координаты образа второго базисного вектора равны ${-\frac12}$ и ${\frac {\sqrt3}2}$ , его координатный столбец имеет вид $\left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\end{array}\right)$ . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол ${\frac{\pi}6}$ имеет вид

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2&-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12&\frac{\sqrt3}2\end{array}\right).$

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .