Отделение корней Приближённое нахождение корней уравнений

Пример 9.2 Рассмотрим уравнение

. Для функции ${f(x)=x^3+2x^2+3x+5}$ найдём производную

. У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: $D=4^2-4\cdot3\cdot3=-20$ , поэтому

сохраняет знак коэффициента при

, то есть

при всех $x\in\mathbb{R}$ . Следовательно, функция

возрастает на всей оси

и может иметь не более одного корня. Вычислим значения

в точках

. Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке

Пример 9.3 Для функции

найдём интервалы монотонности. Решим неравенство

и получим:

$\displaystyle x\in(-\infty;-\dfrac{2}{\sqrt{3}})\cup(\dfrac{2}{\sqrt{3}};+\infty).$

На этих двух интервалах функция возрастает. Ясно, что на интервале

$\displaystyle x\in(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}})$

функция убывает. Найдём значения функции в точках экстремума: Контрольная работа по
теме интегралы Математика решение задач

$\displaystyle f(-\dfrac{2}{\sqrt{3}})= 2+\dfrac{16}{3\sqrt{3}}>0; f(\dfrac{2}{\sqrt{3}})=2-\dfrac{16}{3\sqrt{3}}=\dfrac{8(\sqrt{3}-2)}{3\sqrt{3}}<0.$

Значит, на отрезке убывания $[-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$ отделён корень $x^{**}$ . Так как, очевидно, $f(x)\to-\infty$ при $x\to-\infty$ и $f(x)\to+\infty$ при $x\to+\infty$ , то имеются ещё два корня:

. Получили следующие отрезки, на которых отделены корни:

$\displaystyle x^*\in[-3;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}]; x^{***}\in[\dfrac{2}{\sqrt{3}};3].$

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .