Собственные числа и собственные векторы

Пример 19.8 Пусть

-- двумерное векторное пространство,

-- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $\mathcal{A}$ -- преобразование, переводящее каждый вектор

в его проекцию на прямую

(рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой

, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной

и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.

Пример 19.9 Пусть $\mathcal{A}$ -- линейное преобразование примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.

Если в пространстве задан базис, то линейному преобразованию $\mathcal{A}$ соответствует матрица . Пусть -- собственный вектор преобразования $\mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу ${\lambda}$ , ${\alpha}$ -- координатный столбец вектора . Тогда равенство ${\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ означает, что ${A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ . Математическая логика Математика решение задач

Определение 19.4 Ненулевая матрица-столбец ${\alpha}$ называется собственным вектором квадратной матрицы

, соответствующим собственному числу ${\lambda}$ , если выполнено равенство ${A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .

Замечание 19.2 Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования

-мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.

Предложение 19.3 Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

Доказательство. Пусть и -- две подобные матрицы порядка . Рассмотрим -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис ${e_1,\ldots,\,e_n}$ и рассмотрим линейное преобразование $\mathcal{A}$ , которое в этом базисе имеет матрицу . По следствию 19.1 будет матрицей того же преобразования $\mathcal{A}$ в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования $\mathcal{A}$ будет совпадать со спектрами матриц и .

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .