Метод половинного деления Приближённое нахождение корней уравнений

Пример 9.5 Снова рассмотрим уравнение

. Пусть корень этого уравнения требуется вычислить с точностью ${\varepsilon}=0.001$ . Начинаем решение методом половинного деления с отрезка

, на котором отделён корень

Последовательно находим значение функции в серединах получающихся отрезков: Вычислить производную Математика решение задач

$\begin{multline*} f(-1.5)=1.625;f(-1.75)=0.515625;f(-1.875)=-0.185547;\dots;\\ f(-1.841797)=0.011269, \end{multline*}$

после чего вычисления прекращаются на девятом шаге, так как очередной отрезок имеет длину $\dfrac{1}{2^9}=\dfrac{1}{512}<2{\varepsilon}=\dfrac{1}{500}.$ При этом середина последнего отрезка -- это точка

. Получаем, что приближённое значение $\wt x$ корня

с точностью до

равно $\wt x\approx-1.843$ .

Поскольку при каждом делении отрезка приходится ровно один раз вычислять значение функции (в том из концов нового отрезка, в котором это значение не было вычислено на предыдущих этапах), то в среднем придётся для нахождения корня с точностью ${\varepsilon}$ вычислить значение функции раз. Число можно определить из неравенства $\dfrac{b-a}{2^k}\leqslant 2{\varepsilon}$ , откуда

$\displaystyle N=k+1=\left\lceil\log_2\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1.$

Это значение при малых ${\varepsilon}$ много меньше того значения $N=\left\lceil\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1$ , которое мы получили, анализируя метод простого перебора.

Заметим, что метод деления отрезка пополам, как и метод простого перебора, не предъявляет никаких требований к гладкости функции (то есть к существованию её производной): достаточно, чтобы функция была непрерывной.

Далее мы рассмотрим более быстрые методы, в которых наличие производной будет играть существенную роль.

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .

Метод половинного деления Приближённое нахождение корней уравнений

Основные обозначения и определения Функции и их графики