Скалярное произведение Векторная алгебра

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

        Определение 10.25   Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное $ \vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b.        
        Замечание 10.4   Если один из векторов нулевой, то угол $ {\varphi}$ не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.        

Скалярное произведение обозначается $ {\bf a}\cdot{\bf b}$ , или $ {\bf a}{\bf b}$ , или $ ({\bf a},{\bf b})$ . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается $ {\bf a}^2$ . Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем в виде теоремы. Простейшие правила интегрирования

        Теорема 10.2   Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения:
1) $ {\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf a}$ , свойство коммутативности;
2)$ {\bf a}({\bf b}+{\bf c})={\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}$ , свойство дистрибутивности;
3) $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\lambda}({\bf a}{\bf b})$ ;
4)$ {\bf a}^2>0$ при $ {\bf a}\ne0$ ;
5)$ {\bf a}^2=\vert{\bf a}\vert^2$ ;
6) Если $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b, то $ \cos{\varphi}=\dfrac{{\bf a}{\bf b}} {\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert}$ ;
7) $ {\bf a}{\bf b}=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ , если $ {\bf a}\ne0$ ;
8) $ {\bf a}{\bf b}=0$ тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

        Доказательство.    Свойства 1,4,5,6 очевидным образом следуют из определения скалярного произведения. Свойство 8 получим, если вспомним, что нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Свойство 7 получим из определения скалярного произведения, использовав  предложение 10.13, в силу которого $ { Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}}$ .

Докажем свойство 2. В силу свойства 7, при $ {\bf a}\ne0$ , имеем $ {{\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}({\bf b}+{\bf c})}$ . По  предложению 10.14 $ { Пр_{{\bf a}} ({\bf b}+{\bf c})=Пр_{{\bf a}}{\bf b}+ Пр_{{\bf a}}{\bf c}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert\left( Пр_{{\bf a}}{\b... ...}{\bf b}+\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf c}= {\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}.$

Если $ {\bf a}=0$ , то свойство 2 очевидно.

Докажем свойство 3. При $ {\bf b}=0$ свойство очевидно. Пусть $ {\bf b}\ne0$ . Тогда

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\bf b}({\lambda}{\bf a})=\vert{\bf b}\vert Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a}).$

В силу  предложения 10.15 $ { Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a})={\lambda}Пр_{{\bf b}}{\bf a}}$ . Поэтому

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}=\vert{\bf b}\vert{\lambda}Пр_{{\bf b}}{... ..._{{\bf b}}{\bf a}\right)= {\lambda}({\bf b}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}).$

Итак, все свойства доказаны.    

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

 

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

  Пример 17.5   Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ . Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$
$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$
$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$
$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$
$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$
$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$
        

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень $ n$ , где $ n$  -- натуральное число.

Пусть $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$

Далее находим

$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств