Скалярное произведение Векторная алгебра

Теорема 10.3 Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами ${{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , ${{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Доказательство. По условию ${\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}$ , ${\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+ {\beta}_3{\bf k}$ . В силу свойств 1 - 3 ( теорема 10.2) скалярного произведения получим

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\bf a}({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3{\bf k})={\beta}_1{\bf a}{\bf i}+{\beta}_2{\bf a}{\bf j}+{\beta}_3{\bf a}{\bf k}.$

(10.2)

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой)

Используя те же свойства, находим ${\bf a}{\bf i}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}){\bf i}= {\alpha}_1{\bf i}^2+{\alpha}_2{\bf j}{\bf i}+{\alpha}_3{\bf k}{\bf i}$ . В силу свойства 5, находим ${{\bf i}^2=1}$ , а по свойству 8 получим ${\bf j}{\bf i}={\bf k}{\bf i}=0$ . Таким образом, ${{\bf a}{\bf i}={\alpha}_1}$ . Аналогично находим, что ${\bf a}{\bf j}={\alpha}_2$ , ${\bf a}{\bf k}={\alpha}_3$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.2), получим требуемую формулу (10.1).

Так как ${\vert{\bf a}\vert^2={\bf a}^2}$ , то из теоремы 10.3 вытекает, что если ${{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , то

$\displaystyle \vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+{\alpha}_3^2}$

(10.3)

Пусть в пространстве заданы точки и . Тогда ${\overrightarrow {AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)}$ . Длина отрезка , то есть расстояние между точками и , будет равна $\vert\overrightarrow {AB}\vert$ , и по формуле (10.3) получим

$\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$

(10.4)

Читатель без труда перенесет полученные результаты этого раздела на случай двумерного векторного пространства. Формулы (10.1), (10.3), (10.4) останутся справедливыми, только из них нужно исключить третью координату.
Разберем два примера на использование скалярного произведения.
Задача. Даны вершины треугольника: , , . Найдите длину стороны и $\angle ABC$ .
Решение. $\overrightarrow {BA}=(1;-2;2)$ , $\overrightarrow {BC}=(-1;-1;4)$ , $AB=\vert\overrightarrow {AB}\vert= \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ .
$\cos\angle ABC=\dfrac{\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}}{\bigl\vert\overrightarrow {BA}\bigr\vert \cdot\bigl\vert\overrightarrow {BC}\bigr\vert}$ , $\quad \overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=1\cdot(-1)+(-2)(-1)+2\cdot 4=9$ ,
$\vert\overrightarrow {BC}\vert=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2$ , $\quad \cos\angle ABC=\frac 1{\sqrt 2}$ , $\quad \angle ABC=45^{\circ}$ .
Ответ: , $\quad \angle ABC=45^{\circ}$ .
Задача. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ${\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и ${\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $60^{\circ}$ .
Решение. В этой задаче не заданы координаты векторов в ортонормированном базисе ${\bf i},{\bf j},{\bf k}$ . Поэтому воспользоваться формулами (10.1), (10.3) так просто не получится.
Сделав схематический рисунок (рис. 10.24),

Рис.10.24.

убеждаемся, что вектор ${\bf d}_1$ , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле ${{\bf d}_1={\bf a}+{\bf b}}$ , а другой -- ${{\bf d}_2={\bf a}-{\bf b}}$ . Отсюда ${{\bf d}_1=3{\bf m}-{\bf n}}$ и ${{\bf d}_2={\bf m}+3{\bf n}}$ . В силу свойства 5 ( теорема 10.3) скалярного произведения получим

$\displaystyle \vert{\bf d}_1\vert^2= {\bf d}_1^2=(3{\bf m}-{\bf n})(3{\bf m}-{\bf n})=9{\bf m}^2-3{\bf m}{\bf n}-3{\bf m}{\bf n}+{\bf n}^2=$

$\displaystyle=9\vert{\bf m}\vert^2-6{\bf m}{\bf n}+ \vert{\bf n}\vert^2=9-6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+1=7.$

Аналогично, ${\bf d}_2=({\bf m}+3{\bf n})({\bf m}+3{\bf n})={\bf m}^2+6{\bf m}{\bf n}+9{\bf n}^2= 1+6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+9=13$ .
Ответ: 7 и 13.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пример 17.5 Запишите в тригонометрической форме числа ${z_1=2+2i}$ , ${z_2=-i}$ , ${z_3=\sqrt3-i}$ , ${z_4=5}$ . Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:

$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$

$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$

$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$

$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$

$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$

$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$

$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$

$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где -- натуральное число.

Пусть ${z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$
Далее находим
$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$