Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Теорема 19.1 Собственными числами матрицы $ A$ являются корни уравнения
$\displaystyle \vert A-{\lambda}E\vert=0$
и только они.

Доказательство. Пусть столбец $ {\alpha}$ -- собственный вектор матрицы $ A$ с собственным числом $ {\lambda}$ . Тогда, по определению, $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ . Это равенство можно переписать в виде $ {A{\alpha}-{\lambda}{\alpha}=0}$ . Так как для единичной матрицы $ E$ выполнено $ {E{\alpha}={\alpha}}$ , то $ {A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}=0}$ . По свойству матричного умножения $ {(A-{\lambda}E){\alpha}=A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}}$ и предыдущее равенство принимает вид

Вычислить интегралы Математика решение задач

$\displaystyle (A-{\lambda}E){\alpha}=0.$(19.4)


Допустим, что определитель матрицы $ {A-{\lambda}E}$ отличен от нуля, $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$ . Тогда у этой матрицы существует обратная $ {(A-{\lambda}E)^{-1}}$ . Из равенства(19.4) получим, что $ {{\alpha}=(A-{\lambda}E)^{-1}\cdot0=0}$ , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$ , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ .

Пусть $ {\lambda}$ -- корень уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ . Тогда базисный минор матрицы $ {A-{\lambda}E}$ не может совпадать с определителем матрицы и поэтому $ {{\rm Rg} (A-{\lambda}E)=r<n}$ , $ n$ -- порядок матрицы $ A$ . Уравнение(19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ , являющимися элементами матрицы-столбца $ {\alpha}$ . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно $ {n-r}$ , что больше нуля. Таким образом, система(19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу $ {\lambda}$ соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы $ A$ .

Определитель $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ является многочленом степени $ n$ от переменного $ {\lambda}$ , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

Определение 19.5 Матрица $ {A-{\lambda}E}$ называется характеристической матрицей матрицы $ A$ , многочлен $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ называется характеристическим многочленом матрицы $ A$ , уравнение $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ называется характеристическим уравнением матрицы $ A$ .

Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто $ p$ соответствует ровно один выданный номерок $ n$. Таким образом, между множеством $ P$ сданных пальто и множеством выданных номерков $ N'$ ($ N'$-- это подмножество множества $ N$ всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $ f: p\mapsto n$ ($ p\in P$, $ n\in N'$).

Определение 1.4 Если $ f:A\to B$-- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $ y\in B$ тот элемент $ x\in A$, который переходит в этот самый $ y$ при отображении $ f$, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению $ f$ и обозначается $ f^{-1}$. Таким образом, $ f^{-1}:B\to A$, и $ f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $ f(x)=y$ ($ x\in A$, $ y\in B$).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $ f:P\to N'$-- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $ n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $ p\in P$. Соответствие $ g:N'\to P$, $ n\mapsto p$ ($ n\in N'$, $ p\in P$)-- это обратная функция к функции $ f:P\to N'$, $ p\mapsto n$, то есть $ g=f^{-1}$.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств