Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц примеры

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример 19.10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Решение. Составляем характеристическую матрицу ${A-{\lambda}E}$ :

$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end... ...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$

Находим характеристический многочлен Вычисление площади
поверхности Математика решение задач

$\begin{multline*} \vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd... ...-7-{\lambda})\big)=\\ =-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3. \end{multline*}$

Решим характеристическое уравнение

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$

Подбором находим, что один корень уравнения равен

. Есть теорема, которая говорит, что если число

является корнем многочлена

, то многочлен

делится на разность

, то есть

, где

-- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен ${-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$ должен делиться на ${{\lambda}-(-1)}$ . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель ${{\lambda}+1}$ :

$\begin{multline*} -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}... ...+3({\lambda}+1)=\\ =({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3). \end{multline*}$

Находим корни трехчлена ${-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$ . Они равны

и 3. Таким образом,

$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$

${{\lambda}_1=-1}$ -- корень кратности 2 17.7 b, ${{\lambda}_2=3}$ -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы

равны ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть ${{\lambda}=-1}$ , тогда для собственного вектора ${\alpha}$ получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$

что соответствует системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ ... ...2+8{\alpha}_3=0,\\ 6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0. \end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$

Первую строку, умноженную на числа

прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$

Меняем местами вторую и третью строки

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\ 2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы

находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные ${\alpha}_1$ и ${\alpha}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\alpha}_3$ переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\ 2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$

Полагаем ${{\alpha}_3=1}$ , находим ${{\alpha}_2=2}$ , ${{\alpha}_1=1}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ .

Пусть ${{\lambda}=3}$ , тогда для собственного вектора ${\beta}$ получаем матричное уравнение

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right) =0,$

что соответствует системе уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\... ...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\ 6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу $\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам $\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$

Вторую строку умножаем на

и прибавляем к третьей

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Возвращаемся к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\ -16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$

Базисный минор матрицы

находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные ${\beta}_1$ и ${\beta}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\beta}_3$ переносим в правую часть

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\ -16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$

Полагаем ${{\beta}_3=1}$ , находим ${{\beta}_2=1}$ , ${{\beta}_1=0.5}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу ${{\lambda}_2=3}$ соответствует собственный вектор ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

Ответ: Собственные числа: ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ , соответствующие собственные векторы: ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ , ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Основные обозначения и определения Функции и их графики