Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

Доказательство. Пусть преобразование $\mathcal{A}$ имеет

линейно независимых собственных векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , соответствующих собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ . Так как векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования $\mathcal{A}$ в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора ${\mathcal{A}(e_1)}$ . Так как ${e_1}$ -- собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора $\left(\begin{array}{c}{\lambda}_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Второй столбец матрицы

является координатным столбцом вектора ${\mathcal{A} (e_2)}$ . Так как ${e_2}$ -- собственный вектор, то

Координатный столбец этого вектора $\left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda}_2\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования $\mathcal{A}$ в базисе ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеет вид (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора

. Этот вектор имеет координатный столбец $\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , его образ имеет координатный столбец

Следовательно, ${\lambda}_1$ -- собственное число преобразования $\mathcal{A}$ , а

-- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор

является собственным вектором преобразования $\mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу ${\lambda}_i$ .

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .