Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

Теорема 19.3 Пусть собственные векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $\mathcal{A}$ соответствуют собственным числам ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если , то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор -- ненулевой.
Пусть утверждение верно для системы векторов ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ . Составим линейную комбинацию векторов ${{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ и приравняем ее к нулю

$\displaystyle \mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k=0.$

(19.6)

К обеим частям применим преобразование $\mathcal{A}$
$\displaystyle \mathcal{A}(\mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k)=0.$ Механические приложения
двойного интеграла Математика решение задач

По определению линейного преобразования получим
$\displaystyle \mu_1\mathcal{A}(e_1)+\mu_2\mathcal{A}(e_2)+\ldots+\mu_k\mathcal{A}(e_k)=0.$
Так как ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ -- собственные векторы, то
$\displaystyle \mu_1{\lambda}_1 e_1+\mu_2{\lambda}_2 e_2+\ldots+\mu_k{\lambda}_ke_k=0.$
Умножим равенство (19.6) на ${\lambda}_k$ и вычтем из последнего равенства. Получим
$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k) e_1+\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k) e_2+\ldots+\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1} -{\lambda}_k)e_k=0.$
Так как по предположению индукции векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ линейно независимы, то
$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k)=\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k)=\ldots=\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k)=0.$
По условию ${{\lambda}_1-{\lambda}_k\ne0,\;{\lambda}_2-{\lambda}_k\ne0,\ldots,\;{\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k\ne0}$ , следовательно, ${\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_{k-1}=0}$ . Подставим эти значения в (19.6), получим ${\mu_k=0}$ . Получили, что из равенства (19.6) следует ${\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k=0}$ , то есть векторы ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ линейно независимы.

Следствие 19.3 Если матрица порядка имеет попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков (-- это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда ( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .