Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности


Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Пример 9.11 Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции $ f(x)=x^4-5x^3+6x-1$. Производная этой функции равна $ f'(x)=4x^3-15x^2+6$. Нетрудно видеть, вычислив, например, значения функции в точках $ -1,0,1,2,3,4$, что функция $ f'(x)$ имеет три корня $ x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}$, отделённых, соответственно, на отрезках $ [-1;0],[0;1],[3;4]$ (больше трёх корней многочлен третьей степени иметь не может). При переходе через каждый из этих корней производная меняет знак. Значит, функция $ f(x)$ имеет три локальных экстремума. Поскольку $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to\pm\infty$, то нетрудно сообразить, что в точках $ x^{(1)}$ и $ x^{(3)}$ функция будет иметь локальный минимум, а в точке $ x^{(2)}$-- локальный максимум. Один из двух локальных минимумов будет давать минимальное значение функции на всей оси $ Ox$.
Осталось найти точки $ x^{(1)},x^{(2)}$ и $ x^{(3)}$, вычислить в них значения функции и сравнить эти значения. Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость
Точки $ x^{(k)}$ будем искать как корни уравнения $ f'(x)=0$, применяя метод Ньютона. Поскольку $ f''(x)=12x^2-30x$, то итерационная формула метода Ньютона для поиска любой из трёх точек $ x^{(k)}$ будет иметь вид
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{4x_i^3-15x_i^2+6}{12x_i^2-30x_i}.$ Производная обратной функции Математика решение задач
Заметим, что поскольку $ f''(0)=0$, брать $ x_0=0$ в качестве начального приближения нельзя.
Точка $ x^{(1)}$ отделена на отрезке $ [-1;0]$, значит, возьмём за начальное приближение $ x_0=-1$. Далее, применяя итерационную формулу, получаем (с точностью $ {\varepsilon}=0.000001$):
$\displaystyle x_1=-0.690476;x_2=-0.597112;x_3=-0.588112;x_4=-0.588030;x_5=-0.588030.$
Значит, $ x^{(1)}=-0.588030$; вычисление значения функции $ f(x)$ даёт локальный минимум $ f(x^{(1)})=-3.391974$.
Беря за начальное приближение $ x_0=1$, получаем последовательные приближения к $ x^{(2)}$:
$\displaystyle x_1=0.722222;x_2=0.701634;x_3=0.701454;x_4=0.701454.$
Отсюда $ x^{(2)}=0.701454$; значение локального максимума таково: $ f(x^{(2)})=1.725116$.
Теперь возьмём за начальное приближение для $ x^{(3)}$ значение $ x_0=4$. Получаем последовательные приближения
$\displaystyle x_1=3.694445;x_2=3.638416;x_3=3.636578;x_4=3.636576;x_5=3.636576.$
Итак, $ x^{(3)}=3.636576$ и значение локального минимума равно $ f(x^{(3)})=-44.75112$.
Сравнивая два значения в точках локального минимума, получаем, что
$\displaystyle \min_{x\in\mathbb{R}}f(x)=f(x^{(3)})=-44.75112.$

Рис.9.18.Примерный график функции $ f(x)$

Замечание 9.2 В случае, когда формулы для первой или второй производных функции $ f(x)$ неизвестны, но мы умеем вычислять значения самой функции $ f(x)$, можно попробовать воспользоваться формулами численного дифференцирования, которые мы обсуждали ранее, например:
$\displaystyle f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$
и
$\displaystyle f''(x)\approx\dfrac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},$

взяв в качестве шага $ h>0$ достаточно малое число (но не слишком уж малое: ранее мы видели, что выбор слишком малого шага в формулах численного дифференцирования приводит к большим погрешностям). Конечно, если мы применяем вместо производных их конечно-разностные аналоги, вычисленные с шагом $ h$, то нельзя надеяться, что приближённое значение $ \wt x$ для $ x^*$ может быть найдено с точностью $ {\varepsilon}<h$. Поэтому следует выбирать $ h<{\varepsilon}$ при заданной точности $ {\varepsilon}$, а поскольку на $ h$ есть ограничения снизу, то мы видим, что добиться таким образом очень малой погрешности при нахождении точки экстремума нельзя.

 

Операции над векторами Векторная алгебра

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение 10.6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю (рис. 10.2).

Рис.10.2.Сложение векторов
, Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств