Предложение 10.19 Векторное произведение ${\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b-- коллинеарные.

Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что ${{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда ${{\bf a}=0}$ , или ${{\bf b}=0}$ , или ${\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что ${{\varphi}=0}$ или ${{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

Предложение 10.20 Для любых векторов a и b и любого числа ${\lambda}$ выполняется равенство ${({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Цилиндрическая система координат Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам

Доказательство. Если ${\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b-- коллинеарные, то векторы ${\lambda}{\bf a}$ и b-- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть ${\lambda}>0$ , a, b-- неколлинеарные, ${{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , ${{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами ${\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, ${{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть ${\lambda}<0$ . Тогда векторы ${\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $\psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.

Рис.10.25.

Вычисляем модули:

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...\varphi})= \vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы ${\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от ${\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору ${\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что ${\bf c}={\bf d}$ .

Предложение 10.21 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть ${{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

Предложение 10.22 Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

Предложение 10.23 Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Доказательство. Пусть a и b-- любые неколлинеарные векторы, ${{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор ${{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c-- неколлинеарные, поэтому ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, ${{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по предложению 10.19. Поэтому ${{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пример 17.5 Запишите в тригонометрической форме числа ${z_1=2+2i}$ , ${z_2=-i}$ , ${z_3=\sqrt3-i}$ , ${z_4=5}$ . Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:

$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$

$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$

$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$

$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$

$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$

$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$

$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$

$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где -- натуральное число.

Пусть ${z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$
Далее находим
$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$