Композиция функций Функции и их графики


Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Рис.1.30.Сквозное отображение $ x\mapsto u\mapsto y$ из $ X$ в $ Y$ Тройной интеграл При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Таким образом, $ g\circ f:X\to Y$, $ (g\circ f)(x)=g(f(x))$ при всех $ x\in X$. Другое название композиции-- сложная функция (так как сквозное отображение $ g\circ f:x\mapsto u\mapsto y$ "сложено" из отображений $ f:x\mapsto u$ и $ g:u\mapsto y$).

Пример 1.18 Пусть $ f(x)=\sin x$, $ x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$, и $ g(u)=\sqrt{1-u^2}$, $ u\in U_2=[-1;1]$. Тогда $ \mathcal{E}(f)=[-1;1]=U_2$, и определена композиция
$\displaystyle h(x)=(g\circ f)(x)=\sqrt{1-\sin^2x}=\cos x.$

Упражнение 1.3 Покажите, что если заменить множество $ X$ в предыдущем примере на $ X=[-\frac{\pi}{2};0]$, то композиция $ g\circ f$ снова будет определена, но равна теперь $ -\cos x$, а не $ \cos x$.

Пример 1.19 Пусть $ f(x)=x+\frac{\pi}{2}$, $ x\in X=\mathbb{R}$, и $ g(u)=\sin u$, $ u\in U_2=\mathbb{R}$. Тогда определена композиция $ g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная формулой $ y=g(f(x))=\sin(x+\frac{\pi}{2})$. По известной формуле приведения полученная композиция-- это косинус: $ (g\circ f)(x)=\cos x$ при всех $ x\in\mathbb{R}$.

Замечание 1.5 Даже если для функций $ f$ и $ g$ имеют смысл обе композиции $ {h_1=f\circ g}$ и $ {h_2=g\circ f}$ (что бывает далеко не для любой пары функций $ f$ и $ g$), то функции $ h_1$ и $ h_2$ не обязаны совпадать; как правило, это не так.

Пример 1.20 Пусть $ f(x)=x^2$ и $ g(x)=\sin x$, $ X=U_1=U_2=Y=\mathbb{R}$. Тогда $ h_1(x)=f(g(x))=\sin^2x$, а $ h_2(x)=g(f(x))=\sin(x^2)$. Очевидно, что это разные функции: $ \sin^2x\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, а $ \sin(x^2)$ принимает значение $ -1$, например, при $ x=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}$.

Применяя композицию функций, которые сами могут получаться как композиции, мы можем получать сложные функции вида $ h(g(f(x)))$ и более длинные композиции.

 

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

  Пример 17.5   Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ . Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$
$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$
$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$
$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$
$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$
$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$
        

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень $ n$ , где $ n$  -- натуральное число.

Пусть $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$

Далее находим

$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств