Упражнения Приближённое нахождение корней уравнений

Упражнение 9.4 Найдите с точностью ${\varepsilon}=0.00001$ приближённые значения корней уравнений

а)

;

б)

;

в)

Воспользуйтесь методами половинного деления, хорд и Ньютона. Сравните количество итераций, необходимых для нахождения корня с указанной точностью каждым из этих методов.

Ответы:

а)

;

б) $x^{(1)}=-2.21432;x^{(2)}=0.53919;x^{(3)}=1.67513$ ;

в) $x^{(1)}=-1.06900;x^{(2)}=0.17067;x^{(3)}=1.15572;x^{(4)}=4.74262$ .

Упражнение 9.5 Выпишите итерационную формулу для решения уравнения Вычислить производную функции Математика решение задач

$\displaystyle x^5-2x^3+x^2-3x+1=0$

а) методом хорд;

б) методом одной касательной, при начальном приближении

;

в) методом Ньютона.

Ответы:

а) $x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1}{ \dfrac{(x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1)-(x_{i-1}^5-2x_{i-1}^3+x_{i-1}^2-3x_{i-1}+1)} {x_i-x_{i-1}}};$

Метод интегрирования по частям Изменить порядок интегрирования

б) $x_{i+1}=x_i+\dfrac{1}{3}(x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1);$

в) $x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1}{20x_i^3-12x_i+2}.$

Упражнение 9.6 Приближённо, с точностью ${\varepsilon}=0.00001$ , найдите точку минимума функции

на отрезке

и вычислите минимальное значение $f_{\min}=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$ :

а)

;

б)

;

в) $f(x)=x^4e^x+2x^3e^{-x}-4x^2+x+1$ ,

Ответы:

а) $x_{\min}=-0.17539; f_{\min}=0.90327;$

б) $x_{\min}=0.97621; f_{\min}=1.99942;$

в) $x_{\min}=0.71923; f_{\min}=0.56186.$

Операции над векторами Векторная алгебра

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение 10.6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю (рис. 10.2).

Рис.10.2.Сложение векторов
, Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.