Пределы, Многочлен Тейлора

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример Пусть и рассматривается функция . Покажем, что

Пример Покажем, что предел последовательности равен 0.

Найти массу пластины.

Пример . Решить методом Крамера систему уравнений Решить систему уравнений методом Гаусса

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 градусов Найти массу тела , ограниченного поверхностями:  ; ; ; ; плотность массы тела . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна: Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду

Найти область определения функции .

Общее определение предела

Определение Пусть -- некоторая база и функция определена во всех точках некоторого окончания базы (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний ). Число называется пределом функции по базе (или при базе ) и обозначается

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене Нахождение дифференциала функции Интегрирование тригонометрических функций

• Пример
• Пример

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела. Тензоры

Определение Функция называется бесконечно малой величиной при базе , если её предел при данной базе равен 0, то есть .

• Пример
• Пример
• Пример

Общие свойства пределов

• Замечание
• примеры
• примеры
• Упражнение
• Следствие

Первый и второй замечательные пределы

 Определение   Первым замечательным пределом называется предел

 Определение   Вторым замечательным пределом называется предел

• Пример
• Теорема
• Упражнение

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

   Определение Пусть  -- внутренняя точка области определения функции , то есть функция определена при всех из некоторого интервала ( ), окружающего точку . Функция называется непрерывной в точке , если

• Определения
• Примеры

Сравнение бесконечно малых

• Пример
• Пример
• Примеры

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Формула Тейлора для экспоненты такова:

Получаем формулу Тейлора для синуса:

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Примеры

        Пример   Рассмотрим функцию . Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке . Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,

и положим в нём :

Теперь умножим левую и правую части этой формулы на :

Заметим, что бесконечно малое при выражение имеет тот же или больший порядок малости, как , и поэтому может рассматриваться как остаточный член в формуле Тейлора для , а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример   Найдём предел

Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:

где через обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и . Разложение для знаменателя имеет вид:

где остаточные члены и тоже имеют тот же порядок малости, что и , при . Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен

Итак,