Производные Свойства дифференцируемых функций

Мгновенная скорость при прямолинейном движении

Касательная к кривой на плоскости

Определение

Найти массу пластины.

Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю. Вычислить криволинейный интеграл Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Вычислить определитель . Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= . Найти произведение матриц А=  и В = .

Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами

• Замечание
• Теорема Поверхностями уровня линейной функции Интегралы, зависящие
  от параметра

Уильям Хогарт Серия «Карьера продажной женщины» Британский музей в Лондоне

Свойства производных

Замечания

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции в точке .

Рассмотрим функцию как отношение

Примеры

Дифференциал

Теорема   Функция имеет дифференциал в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке; при этом

Производная композиции

Примеры

Примеры

Инвариантность дифференциала

Производная обратной функции

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Пример

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Пример

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от до :

Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически.

 

Производная функции, заданной неявно

 

Приближённое вычисление производных

Примеры и упражнения

Примеры и упражнения 2

Свойства дифференцируемых функций

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

• Теорема Ферма
• Теорема Ролля
• Теорема Лагранжа
• Теорема Коши

Правило Лопиталя

На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

Теорема 5.5(Правило Лопиталя)   Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных:

Замечания

Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших

 

Сравнение бесконечно больших величин

Пусть  -- некоторая база, и и  -- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций и при базе в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших и .

Примеры

Примеры