Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Последовательность выполнения чертежа корпуса

 

Наибольшее и наименьшее значения функции 2-х переменных в замкнутой области

 В 9.3 была сформулирована теорема Вейерштрасса (теорема 9.1), согласно которой всякая функция , непрерывная в замкнутой области U, ограниченной ломаной Г=, достигает в этой области своих наибольшего – наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом.

1. Находим критические точки, принадлежащие U.

2. На каждом звене  ломаной Г сводим функцию f к функции  одной переменной и выделяем на   критические точки функции .

3. Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вершинами ломаной Г.

4. Вычисляем значения функции в точках полученного списка и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут искомыми.

Пример 17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области D, заданной неравенствами .

Ñ Область D ограничена частью параболы  и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции:  Решение системы: x =32,5, y = –13. Найденная критическая точка  не принадлежит D.

2) Исследуем функцию на границе. а) На участке . Функция  сводится к функции одной переменной  .Находим критические точки функции : . На  x = 4 и точки . б) На линии  . Функция  сводится к функции , . Находим критические точки функции : , , , , . На   и получаем точки , .

3) Вершины ломаной в точках  и . 4) Вычисляем значения функции f в точках  , , , . Итак, , .#

 

Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

 Если функция  дифференцируема n+1 раз в некоторой окрестности  точки , то для всякой точки  справедлива формула Тейлора

  

или, записав несколько членов в развернутом виде,

+  (7.4)

…+

. Здесь - остаточный член в формуле Тейлора порядка n. При этом  ,где - бесконечно малая функция при   и , вид которой зависит от функции f и точки . В форме Пеано , где . При  формула (7.4) называется формулой Маклорена.

Пример 18. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

 Ñ Имеем . Вычислим последовательно частные производные данной функции: ,

. Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке(2,-1):
. По формуле (7.4) получаем искомое разложение

.#

Пример 19. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

Ñ Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

,,

   . По формуле (7.4) имеем , где . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить приближенно:

. 51. . 52. . 53. .

54. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания
R =2,5м, высоту H = 4м и толщину стенок l=1 дм . Найти приближенно объем
материала, затраченного на изготовление стакана.

В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, r =10см, высота h =30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, r – на 3 мм и h уменьшить на 1мм.

56 Найти уравнение касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:

а)  в точке ; б)  в точке ;

в)  в точке (2,1,3); г)  в точке (2,2,1);

д)  в точках пересечения с осью Oz.

Найти углы, которые образуют нормаль к поверхности  в точке (1,1, p/4) c осями координат.
Найти экстремумы функций 2-х переменных:

59. .

60. .
61. .

62. .

63. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в
области .

64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области
.

65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в круге .

Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H.

Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок  и внутренней емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.

Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2,1).

Разложить по формуле Маклорена до членов 3-его порядка включительно функцию .

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 3-го порядка включительно функцию .

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию , определяемую уравнением , если .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета