Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Чтение сборочных чертежей http://rustud.ru/ Луврский музей в Париже http://arthistori.ru/

 

Кратные интегралы

Определение кратного интеграла

Определение двойного и тройного интеграла

 Пусть : 1) в ограниченной замкнутой области   “ объема” v(E) задана ограниченная функция ; 2) - разбиение области  на подобласти  с объемами и диаметрами - диаметр разбиения; 3) зафиксируем точки , ; 4) построим интегральную сумму

.

Определение. Конечный предел I интегральной суммы  при  называется m- кратным интегралом от функции f по области E и обозначается

или . (1.1)

Таким образом, по определению,

  (1.2)

В этом случае функция  называется интегрируемой в E.

 При m=2 (m=3) для ограниченной функции f в замкнутой области  ) кратный интеграл (1.1) называется двойным (тройным) интегралом, а соответствующее определение (1.2) примет вид

,где точка  (,

где точка .

 

 

Двойные интегралы

Области на плоскости

Определение. Область  назовем правильной в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис.14.1).

 Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции и , определенные и непрерывные на [a;b] и такие, что координаты точек, принадлежащих (S), удовлетворяют условиям: ; тогда символически можно записать:

 . (2.1)

Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции   и , определенные и непрерывные на [c;d] и такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют условиям: (рис.14.2);

тогда символически

 .  (2.2)

 


 Рис.14.1. Рис.14.2.

 

Область называется правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy.

Пример 1. Область S задана уравнениями границы: .

Изобразить указанную область и записать как правильную.

Рис.14.3

 

Ñ Область S – треугольник, ограниченный прямыми   (рис.14.3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2;1), B(2;2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую  и прямую . Поэтому в силу (2.1) область задается системой неравенств:

Рис. 14.4

 

б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S1 и S2 (рис.14.4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y : OB: x=y, OA: x=2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L1 пересекает прямую OB: x=y и прямую OA: x=2y; прямая L2 пересекает прямую OB: x=y и прямую AB: x=2. Итак,  и в силу (2.2) .#

Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству  (a>0) , т.е. . Изобразить данную область и записать как правильную.

Ñ Преобразуя неравенство , получим . Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы  следует  или .Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность и полуокружность OML:   (рис. 14.5)), в силу (2.1) .

 


 Рис. 14.5 Рис.14.6

 

Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность

 и полуокружность +  (рис. 14.6)), и в силу (2.2):   #

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

1. S – параллелограмм со сторонами x=3, x=5, 3x-2y+4=0,  3x-2y+1=0.

2. Область D задана неравенствами .

3. Область D – треугольник со сторонами .

 

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета