Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

Кратные интегралы

Определение кратного интеграла

Определение двойного и тройного интеграла

 Пусть : 1) в ограниченной замкнутой области   “ объема” v(E) задана ограниченная функция ; 2) - разбиение области  на подобласти  с объемами и диаметрами - диаметр разбиения; 3) зафиксируем точки , ; 4) построим интегральную сумму

.

Определение. Конечный предел I интегральной суммы  при  называется m- кратным интегралом от функции f по области E и обозначается

или . (1.1)

Таким образом, по определению,

  (1.2)

В этом случае функция  называется интегрируемой в E.

 При m=2 (m=3) для ограниченной функции f в замкнутой области  ) кратный интеграл (1.1) называется двойным (тройным) интегралом, а соответствующее определение (1.2) примет вид

,где точка  (,

где точка .

 

 

Двойные интегралы

Области на плоскости

Определение. Область  назовем правильной в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис.14.1).

 Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции и , определенные и непрерывные на [a;b] и такие, что координаты точек, принадлежащих (S), удовлетворяют условиям: ; тогда символически можно записать:

 . (2.1)

Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции   и , определенные и непрерывные на [c;d] и такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют условиям: (рис.14.2);

тогда символически

 .  (2.2)

 


 Рис.14.1. Рис.14.2.

 

Область называется правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy.

Пример 1. Область S задана уравнениями границы: .

Изобразить указанную область и записать как правильную.

Рис.14.3

 

Ñ Область S – треугольник, ограниченный прямыми   (рис.14.3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2;1), B(2;2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую  и прямую . Поэтому в силу (2.1) область задается системой неравенств:

Рис. 14.4

 

б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S1 и S2 (рис.14.4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y : OB: x=y, OA: x=2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L1 пересекает прямую OB: x=y и прямую OA: x=2y; прямая L2 пересекает прямую OB: x=y и прямую AB: x=2. Итак,  и в силу (2.2) .#

Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству  (a>0) , т.е. . Изобразить данную область и записать как правильную.

Ñ Преобразуя неравенство , получим . Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы  следует  или .Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность и полуокружность OML:   (рис. 14.5)), в силу (2.1) .

 


 Рис. 14.5 Рис.14.6

 

Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность

 и полуокружность +  (рис. 14.6)), и в силу (2.2):   #

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

1. S – параллелограмм со сторонами x=3, x=5, 3x-2y+4=0,  3x-2y+1=0.

2. Область D задана неравенствами .

3. Область D – треугольник со сторонами .

 

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета