Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

Повторный интеграл

Определение. Повторный интеграл  есть приращение первообразной F(x,y) для по переменному “y”, проинтегрированное по переменному “x” , т.е.

.

Определение. Повторный интеграл  есть приращение первообразной Ф(x,y) для f(x,y) по переменному “x”, проинтегрированное по переменному “y”, т.е.

 =.

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

Ñ ½интегрируя внутренний интеграл по “y”, полагаем “x” постоянным½=

= . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить повторные интегралы.

4. . 5.  6. . 7. , если .

 

 

Вычисление двойного интеграла в декартовых  координатах

Теорема 14.1 Если : 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

   (2.3)

Теорема 14.2. Если :1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т.е. существует двойной интеграл  , 2) существует повторный интеграл , то

 .  (2.4)

 Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Рис.14.7

 

Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2-y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых   и , то 
, где (см. (2.1)) ,

. Итак, = =  =.#

Пример 5. Вычислить  по области D, ограниченной линиями  и .

 Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол  и  решаем уравнение  , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)

 Рис.14.8 а) 

=.

 Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)

=

Рис.14.8.б

 

 

 =. #

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:

8. . 9. .

10. . 11..

Перейти от двойного интеграла  по конечной области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:

12. Область D – параллелограмм со сторонами    .

13. . 14. .

15. - треугольник со сторонами .

16. .

17. - треугольник с вершинами .

18. D – сегмент, ограниченный линиями .

Вычислить двойные интегралы:

19. . 20. - круг .

21. - область, ограниченная линиями .

22. - область, ограниченная линиями .

23. - область, ограниченная линиями .

24.- четверть круга , лежащая в первом квадранте.

25. - область, ограниченная параболой  и прямой .

26.  , если D ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды , .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета