Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

 

Повторный интеграл

Определение. Повторный интеграл  есть приращение первообразной F(x,y) для по переменному “y”, проинтегрированное по переменному “x” , т.е.

.

Определение. Повторный интеграл  есть приращение первообразной Ф(x,y) для f(x,y) по переменному “x”, проинтегрированное по переменному “y”, т.е.

 =.

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

Ñ ½интегрируя внутренний интеграл по “y”, полагаем “x” постоянным½=

= . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить повторные интегралы.

4. . 5.  6. . 7. , если .

 

 

Вычисление двойного интеграла в декартовых  координатах

Теорема 14.1 Если : 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

   (2.3)

Теорема 14.2. Если :1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т.е. существует двойной интеграл  , 2) существует повторный интеграл , то

 .  (2.4)

 Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Рис.14.7

 

Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2-y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых   и , то 
, где (см. (2.1)) ,

. Итак, = =  =.#

Пример 5. Вычислить  по области D, ограниченной линиями  и .

 Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол  и  решаем уравнение  , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)

 Рис.14.8 а) 

=.

 Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)

=

Рис.14.8.б

 

 

 =. #

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:

8. . 9. .

10. . 11..

Перейти от двойного интеграла  по конечной области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:

12. Область D – параллелограмм со сторонами    .

13. . 14. .

15. - треугольник со сторонами .

16. .

17. - треугольник с вершинами .

18. D – сегмент, ограниченный линиями .

Вычислить двойные интегралы:

19. . 20. - круг .

21. - область, ограниченная линиями .

22. - область, ограниченная линиями .

23. - область, ограниченная линиями .

24.- четверть круга , лежащая в первом квадранте.

25. - область, ограниченная параболой  и прямой .

26.  , если D ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды , .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета