Кривые и поверхности Линейные пространства уравнения

Элементарная математика http://predto.ru/ Математика, локальные сети, электрические сети

 

Тройные интегралы.

Области в пространстве.

 Определение. Область  назовем правильной в направлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в направлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно оси Oy) пересекает границу области ровно в двух точках.

 Область V будет правильной в направлении Oz, если существуют функции  и , заданные в S и такие, что координаты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям: . Тогда символически записывают:

  (3.1)

Если, в свою очередь, область S - правильная в направлении Oy, то (см.(2.1))

 . (3.2)

Если область S правильная в направлении Ox, то (см.(2.2))

 . (3.3)

Задания.

Записать символически правильную в направлении Oy область , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.

Записать символически правильную в направлении Ox область , если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.

 Пример 10. Область V ограничена поверхностями   и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz,

б) в направлении Ox.

Рис.14.13

 

Рис.14.12

 
Ñ Область V - круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической поверхности , основанием, лежащим на плоскости z=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 14.12).Область V - правильная во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения  имеем - уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из уравнения  имеем . Для точек области V имеем: . Проекция области V на плоскость Oxy есть  (рис. 14.13), поэтому в силу (3.1)  ,где .Так как S - правильная область, то (см.(2.1))   или (см.(2.2)) . Поэтому требуемая запись будет (см. (3.2))   или (см. (3.3))  .

б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения  имеем . Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности находятся из решения системы уравнений:  ; в результате имеем - прямые в плоскости Oyz. Итак, проекцией V на плоскость Oyz является область D - треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0  (рис. 14.14), поэтому в силу (3.1)  , где .

2

 
 Так как область D – правильная, то рассматривая ее как правильную в направлении Oy, имеем , а потому

Рис.14.14

 
  #

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные ниже области и записать как правильные: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox.

44. Область V ограничена поверхностями .

45. Область V ограничена поверхностями .

46. Область V ограничена поверхностями .

14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

 Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена снизу и сверху непересекающимися поверхностями   и , а с боков – цилиндрической поверхностью F(x,y)=0 c образующими, параллельными оси Oz, т.е.

, где S- проекция V на плоскости Oxy.

Теорема 14.4. Пусть:1) в области задана функция f(x,y,z), интегрируемая по Риману, т.е. существует тройной интеграл ; 2) существует повторный интеграл  . Тогда справедлива формула

  (3.4)

Замечание. Цилиндрическая поверхность , ограничивающая V, может частично или полностью вырождаться в пространственную линию.

Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в направлении Ox проецируется на плоскость Oyz; 2) область V правильная в направлении Oy проецируется на плоскость Oxz.

Пример 11. Вычислить , где область V ограничена

поверхностями: .

 

 


Ñ Поверхности и  есть параболические цилиндры с образующими, параллельными  - плоскости. Область V – правильная в направле-

Рис.14.16

 

Рис.14.15

 
 

 


нии Oz, а потому  для точек, принадлежащих V (рис.14.15).

Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями  и  (рис.14.16), а потому, например (см.(2.1)),  и в силу (3.2) . Тогда по формуле (3.4) = =

==½см. (2.3)½= = = #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

47.  .

48. W - область, ограниченная плоскостями ,

 .

49.  , V – область, ограниченная гиперболическим параболоидом   и плоскостями .

50.  , V – область, ограниченная цилиндром  и плоскостями  и .

51.  , V – область, ограниченная поверхностями   .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета