Кривые и поверхности Линейные пространства уравнения

Кривые второго порядка

Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

Окружность

Эллипс

Найти объем тела Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Определение 12.3   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.       

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60 градусов Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности  : Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Решить матричным способом систему уравнений

Найти методом окаймления миноров ранг матрицы .

Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.

Гипербола

Парабола

Пример   Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

 Пример   Нарисуйте кривую и найдите ее фокусы.

Пример   Постройте кривую

Поверхности второго порядка

Определение Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

Сфера

Эллипсоид

Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Гиперболоиды Определенные интегралы

 Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид


Определение   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

 

Параболоиды

Определение  Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.    

Параллельный перенос системы координат

 Пример Нарисуйте поверхность .

Линейные пространства уравнения

Системы линейных уравнений

     Определение 15.1   Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Правило Крамера

Теорема (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное.

Пример   Решите систему уравнений

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

Теорема Кронекера-Капелли

Однородная система уравнений

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

• Примеры
• Найдите общее решение системы уравнений
• Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры

Группы

Пример

Кольца

Пример

Поля

Многомерные пространства

Линейные пространства

Определение и примеры

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Базис и размерность пространства

 Теорема В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Координаты векторов

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пример

Евклидово пространство

Определение   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.      

Пример

Аффинное -мерное пространство

Линейные преобразования

Определение и примеры

Пример

Упражнение Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой

Матрица линейного преобразования

Пример

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Собственные числа и собственные векторы

 Определение 19.3   Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Пример

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

 Теорема   Пусть собственные векторы преобразования соответствуют собственным числам , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов является линейно независимой.

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Теорема   Если матрица  -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.     

Пример   Приведите уравнение поверхности