Кривые и поверхности Линейные пространства уравнения

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

Тройные интегралы.

Области в пространстве.

 Определение. Область  назовем правильной в направлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в направлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно оси Oy) пересекает границу области ровно в двух точках.

 Область V будет правильной в направлении Oz, если существуют функции  и , заданные в S и такие, что координаты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям: . Тогда символически записывают:

  (3.1)

Если, в свою очередь, область S - правильная в направлении Oy, то (см.(2.1))

 . (3.2)

Если область S правильная в направлении Ox, то (см.(2.2))

 . (3.3)

Задания.

Записать символически правильную в направлении Oy область , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.

Записать символически правильную в направлении Ox область , если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.

 Пример 10. Область V ограничена поверхностями   и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz,

б) в направлении Ox.

Рис.14.13

 

Рис.14.12

 
Ñ Область V - круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической поверхности , основанием, лежащим на плоскости z=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 14.12).Область V - правильная во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения  имеем - уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из уравнения  имеем . Для точек области V имеем: . Проекция области V на плоскость Oxy есть  (рис. 14.13), поэтому в силу (3.1)  ,где .Так как S - правильная область, то (см.(2.1))   или (см.(2.2)) . Поэтому требуемая запись будет (см. (3.2))   или (см. (3.3))  .

б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения  имеем . Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности находятся из решения системы уравнений:  ; в результате имеем - прямые в плоскости Oyz. Итак, проекцией V на плоскость Oyz является область D - треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0  (рис. 14.14), поэтому в силу (3.1)  , где .

2

 
 Так как область D – правильная, то рассматривая ее как правильную в направлении Oy, имеем , а потому

Рис.14.14

 
  #

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные ниже области и записать как правильные: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox.

44. Область V ограничена поверхностями .

45. Область V ограничена поверхностями .

46. Область V ограничена поверхностями .

14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

 Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена снизу и сверху непересекающимися поверхностями   и , а с боков – цилиндрической поверхностью F(x,y)=0 c образующими, параллельными оси Oz, т.е.

, где S- проекция V на плоскости Oxy.

Теорема 14.4. Пусть:1) в области задана функция f(x,y,z), интегрируемая по Риману, т.е. существует тройной интеграл ; 2) существует повторный интеграл  . Тогда справедлива формула

  (3.4)

Замечание. Цилиндрическая поверхность , ограничивающая V, может частично или полностью вырождаться в пространственную линию.

Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в направлении Ox проецируется на плоскость Oyz; 2) область V правильная в направлении Oy проецируется на плоскость Oxz.

Пример 11. Вычислить , где область V ограничена

поверхностями: .

 

 


Ñ Поверхности и  есть параболические цилиндры с образующими, параллельными  - плоскости. Область V – правильная в направле-

Рис.14.16

 

Рис.14.15

 
 

 


нии Oz, а потому  для точек, принадлежащих V (рис.14.15).

Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями  и  (рис.14.16), а потому, например (см.(2.1)),  и в силу (3.2) . Тогда по формуле (3.4) = =

==½см. (2.3)½= = = #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

47.  .

48. W - область, ограниченная плоскостями ,

 .

49.  , V – область, ограниченная гиперболическим параболоидом   и плоскостями .

50.  , V – область, ограниченная цилиндром  и плоскостями  и .

51.  , V – область, ограниченная поверхностями   .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета