Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

 

Ротор (вихрь) векторного поля

 Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).

Определение. Вихрем векторного поля  (обозначается rot) называется вектор, проекция которого на произвольный вектор  определяется как предел отношения циркуляции поля   по некоторому контуру (L), содержащему точку M, и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору , к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точку M, а площадь области (S) стремится к нулю:

 .  (1.13)

В трехмерном пространстве  через декартовы прямоугольные координаты вектора  выражается следующим образом:

 , (1.14)

или в удобной для запоминания символической форме

   . (1.15)

Теорема Стокса. Пусть координаты вектора  +  непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поля  по замкнутому контуру (L) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S), натянутую на этот контур:

 . (1.16)

Предполагается, что ориентация контура (L) и поверхности (S) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.

Свойства ротора: 1) ; 2) .

Определение. Векторное поле  называется безвихревым в данной области (V), если .

Пример 1. Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля .

Решение. Вектор  в координатной форме:   . Вычислим ротор по формуле (1.15):

+ -

- поле напряженности  - безвихревое поле.

Пример 2. Вычислить циркуляцию вектора  по контуру  1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Рис.5.

 
Решение. 1)Контур (L) – окружность радиуса , лежащая в плоскости
z =3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения линии  , так что , . Для циркуляции вектора  имеем: . 2)Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S), натянутую на контур (L).Естественно в качестве (S) взять круг, имеющий линию (L) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормаль  к кругу необходимо взять равной . Вычислим ротор: .
По теореме Стокса
 .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета