Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

Ротор (вихрь) векторного поля

 Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).

Определение. Вихрем векторного поля  (обозначается rot) называется вектор, проекция которого на произвольный вектор  определяется как предел отношения циркуляции поля   по некоторому контуру (L), содержащему точку M, и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору , к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точку M, а площадь области (S) стремится к нулю:

 .  (1.13)

В трехмерном пространстве  через декартовы прямоугольные координаты вектора  выражается следующим образом:

 , (1.14)

или в удобной для запоминания символической форме

   . (1.15)

Теорема Стокса. Пусть координаты вектора  +  непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поля  по замкнутому контуру (L) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S), натянутую на этот контур:

 . (1.16)

Предполагается, что ориентация контура (L) и поверхности (S) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.

Свойства ротора: 1) ; 2) .

Определение. Векторное поле  называется безвихревым в данной области (V), если .

Пример 1. Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля .

Решение. Вектор  в координатной форме:   . Вычислим ротор по формуле (1.15):

+ -

- поле напряженности  - безвихревое поле.

Пример 2. Вычислить циркуляцию вектора  по контуру  1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Рис.5.

 
Решение. 1)Контур (L) – окружность радиуса , лежащая в плоскости
z =3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения линии  , так что , . Для циркуляции вектора  имеем: . 2)Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S), натянутую на контур (L).Естественно в качестве (S) взять круг, имеющий линию (L) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормаль  к кругу необходимо взять равной . Вычислим ротор: .
По теореме Стокса
 .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета