Введение в математический анализ
Бином Ньютона. (полиномиальная формула)
Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)n в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
Пример Пределы функций нескольких переменных
Комплексная плоскость Вычислить тройной интеграл
, где
Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Правило расстановки пределов. В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.
Криволинейный интеграл второго рода Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине и направлению при перемещении точки. Физическая задача вычисления работы силы
при перемещении точки Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N Вычисление кратных интегралов Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Элементы математической логики
Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Определение. Булевой функцией f(X1, X2, …, Xn) называется называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.
Конечные графы и сети. Основные определения
Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.
При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.
В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар
(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).
Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.
Элементы высшей алгебрыОпределение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность x1, х2, …, хn = {xn}
Связь натурального и десятичного логарифмов
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Некоторые замечательные пределы
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Комплексным числом z называется выражение
, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Показательная форма комплексного числа
Разложение многочлена на множители
Основные понятия теории множеств
Дискретная математика
Определение. Предикатом P(x1, x2, …, xn) называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.
Граф Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.
Матрицы графов Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [aij] порядка п, у которой
Матрица Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G.
Достижимость и связность Определение. Вершина w графа D (или орграфа) называется достижимой из вершины v, если либо w=v, либо существует путь из v в w(маршрут, соединяющий v и w).
Деревья и циклы Определение. Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет циклов. Граф G, все компоненты связности которого являются деревьями, называется лесом.
Элементы топологии Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.
Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.
Открытые и замкнутые множества
Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки rÎU.
Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто.
Непрерывные отображения Определение. Отображение f: E ® F называется непрерывным в точке р, если для любой окрестности V точки f(p) в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве Е, что f(U) Ì V. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства Е.
Топологическое произведение пространств Определение. Множество E´F, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.
Уравнение линии на плоскости Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
, (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А =
называется матрицей системы, а матрица А*=
называется расширенной матрицей системы
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
Угол между прямыми на плоскости
Кривые второго порядка.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами
Системы координат
Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.
Аналитическая геометрия в пространстве
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Линейное (векторное) пространство
Матрицы линейных преобразований
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А =
.
Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27
.
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
Линейная алгебра.
Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Решение произвольных систем линейных уравнений
Элементы векторной алгебры
Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Линейные операции над векторами в координатах
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Уравнение поверхности в пространстве
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
Проект
ВВЭР-1000 системы передачи и системы
коммутации Способы задания
функции: табличный,с помощью формулы
| ||